réduction simultanée

Sur l'espace $E = \textbf{M}_{n,1}(\C)$, les matrices $A$ et $B$ définissent deux formes sesquilinéaires $\phi_A$ et $\phi_B$ par $\phi_M(X,Y) = X^*MY$.

Comme $A$ est définie positive, $\phi_A$ munit $E$ d'une structure d'espace hermitien, et $\phi_B$ est représentable paru un endomorphisme autoadjoint $u$ de $E$ sous la forme $\phi_B(X,Y) = \phi_A(X,u(Y))$.

Mézalor $u$ est diagonalisable dans une base $\phi_A$-orthonormée, avec spectre réel. Dans cette base $\phi_A$ est représentée par la matrice unité $I_n$, et $\phi_B$ par la même matrice que $B$, c'est-à-dire une matrice diagonale réelle $D$.
Si $P$ (élément de $\textrm{GL}_n(\C)$) est la matrice de passage de cette base $\phi_A$-orthonormée à la base canonique de $E$, les formules de changement de base pour les formes sesquilinéaires fournissent $A = P^*I_nP = P^*P$ et $B = P^*DP$.