Matrices élémentaires
Bonjour
Voilà l'énoncé de l'exercice :
Soit n un entier différent de zéro, et A, B éléments de Mn(K).
Montrer que si pour tout X de Mn(K) on a AXB = 0 alors A = 0 ou B = 0.
Je pensais commencer par montrer que si A différent de zéro, on a AXB = 0 et B = 0. Puis montrer que si B différent de zéro, alors AXB = 0 et A = 0.
Cependant, je ne vois pas trop comment formuler ma démonstration.
Merci d'avance pour votre aide
Voilà l'énoncé de l'exercice :
Soit n un entier différent de zéro, et A, B éléments de Mn(K).
Montrer que si pour tout X de Mn(K) on a AXB = 0 alors A = 0 ou B = 0.
Je pensais commencer par montrer que si A différent de zéro, on a AXB = 0 et B = 0. Puis montrer que si B différent de zéro, alors AXB = 0 et A = 0.
Cependant, je ne vois pas trop comment formuler ma démonstration.
Merci d'avance pour votre aide
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
J'identifie Mn(K) aux endomorphismes de K^n (ce qui revient à voir les éléments de K^n comme matrices-colonne nx1).
Supposons B non nul. Alors l'image de B est au moins de dimension 1 ; soit alors D une droite vectorielle contenue dans l'image de B. On voit facilement que n'importe quelle droite vectorielle peut être obtenue comme image de D par un X dans Mn(K) bien choisi ; la condition AXB=0 entraîne alors que cette droite est contenue dans le noyau de A. Comme X est arbitraire, on en déduit que ce noyau est K^n tout entier, donc que A=0.
> Comme $AXB$ est nulle {\bf pour tout $X$}, regarde
> ce qui se passe pour des matrices $X$ relativement
> simples, avec un seul élément non nul...
En fait, j'avais oublié de le préciser , je comptais calculer AE, avec A(ij) 1<= i,j <= n et E(kp) une matrice telle que E(kp) = (dik djp) 1<= i,j <= n ( d = symbôle de Kronecker).
Mais je ne vois pas où ça peut me mener :S
Pour la matrice $X_{p,q}$ dont le seul élément non nul est $x_{p,q} = 1$, cela fournit $a_{i,p}b_{q,j} = 0$, toujours pour tout $(i,j)$.
Tu devrais pouvoir en déduire que, si $A$ est non nulle, donc un des éléments $a_{i,p}$ non nul, alors $b_{q,j} = 0$ pour tout $(q,j)$, c.-à-d. $B=0$.
Il reste que la méthode d'Erlangen est bien plus élégante.
[Fermeture de parenthèses AD]
Je ne comprends pas pourquoi utiliser cette méthode en fait :S
Merci gb