matrices diagonalisables
Bonjour
Je voudrais un peu d'aide à propos d'une question que j'arrive pas à résoudre:
$A,B$ deux matrices de $M_{n}\left( C\right) $ avec $AB=BA$ et $A$ diagonalisable.
montrer qu'il existe une suite $\left( B_{p}\right) _{p}$ de matrices diagonalisable, de limite $B$, verifiant : $\forall p\in N:AB_{p}=B_{p}A$
Merci
Je voudrais un peu d'aide à propos d'une question que j'arrive pas à résoudre:
$A,B$ deux matrices de $M_{n}\left( C\right) $ avec $AB=BA$ et $A$ diagonalisable.
montrer qu'il existe une suite $\left( B_{p}\right) _{p}$ de matrices diagonalisable, de limite $B$, verifiant : $\forall p\in N:AB_{p}=B_{p}A$
Merci
Réponses
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1) En écrivant $A$ sous la forme $PDP^{-1}$ avec $D = Diag(\lambda_1,...,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_2,...,\lambda_k)$ (les $\lambda_i$ étant distincts 2 à 2), montrer que $B$ est de la forme $PEP^{-1}$ avec $E$ diagonale par blocs.
2) Utiliser la densité des matrices diagonalisables dans $M_N(\C)$ pour tout $N$ pour approcher chaque bloc de $E$ par une matrice diagonalisable.
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Bonjour!
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