Question sur les modules
dans Algèbre
Salut à tous les matheux,
Un module de type fini i.e. admettant un nombre fini d'éléments générateurs est-il libre i.e. admet-il nécessairement une base?
Sinon un contre-exemple serait apprécié.
GP
Un module de type fini i.e. admettant un nombre fini d'éléments générateurs est-il libre i.e. admet-il nécessairement une base?
Sinon un contre-exemple serait apprécié.
GP
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Réponses
La propriété bien connue des espaces vectoriels à savoir "p+1 vecteurs chacun combinaison linéaire de p vecteurs sont liés" qui est à l'origine de la notion de dimension se généralise à un module sur un anneau INTEGRE.
- Un autre résultat vrai : tout module de type fini et sans torsion sur un anneau principal est libre.
- Ludovic : qu'est ce qui est non trivial, le module ou le résultat ?
{\bf énoncé :} Soit $M$ un module sur un anneau intègre $A$. Soient $e_1,\ldots,e_p\in M$. Soient $v_1,\ldots,v_{p+1}\in M$, tous combinaisons linéaires des $e_i$. Alors il existe $a_1,\ldots,a_{p+1}\in A$ non tous nuls tels que $a_1 v_1+\cdots+a_{p+1} v_{p+1}=0$.
{\bf preuve :} on note $K$ le corps des fractions de $A$. On choisit des coordonnées $x_i=(x_{i,1},\ldots, x_{i,p})\in A^p$ pour chaque $v_i$ (on choisit car il n'y a pas nécessairement unicité). On a donc $p+1$ vecteurs $x_1,\ldots,x_{p+1}\in A^p\subset K^p$. Comme $K^p$ est un espace vectoriel de dimension $p$, on sait que les $x_i$ sont liés : il existe $a_1,\ldots,a_{p+1}\in K$ non tous nuls tels que $a_1 x_1+\cdots+a_{p+1} x_{p+1}=0$ (dans $K^p$). Quitte à multiplier par un élément non nul de $A$, on peut supposer $a_1,\ldots,a_{p+1}\in A$. Et pour finir, on vérifie qu'on a bien $a_1 v_1+\cdots a_{p+1} v_{p+1}=0$ dans $M$ (c'est évident). (:P)
[Le mélange de LaTeX et de BBcode (les boutons au dessus de la fenêtre d'édition) ne marche pas. AD]
Pour ceux que ca int\'{e}resse, je suis en train d'\'{e}crire un cours sur les modules. Si vous voulez lire le d\'{e}but, je serai ravi de vous envoyer le pdf.
Je suis impatient de faire connaissance avec la drôle de bestiole évoquée.
Cordialement,
GP