Théorème de Witt

Bonjour,

Dans la situation que vous considérez, E est $\mathbb{R}^3$ muni de la forme quadratique non dégénérée $q$, $F$ et $F'$ sont des droites vectorielles (points du plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$). Il n'est pas très difficile de voir dans ce cas si l'on a une isométrie de $F$ sur $F'$.

Cordialement,

M. Coste

Pour expliciter un peu l'argument de Michel Coste, étant données deux droites $F$ et $F'$, il est facile de trouver une $q$-isométrie de l'une sur l'autre dès lors que $q$ est non-dégénérée, qu'on peut prolonger grâce à ton théorème ; mais ces deux droites sont des points du plan projectif. Autrement dit étant donnés deux points de $P^2(\R)$ on peut trouver un élément de $O(q)$ qui transporte l'un sur l'autre ; et donc ton action est .....

J'ai encore dit n'importe quoi (honte).

monsieur.patate écrivait:
> Quel rapport entre le théorème de
> Witt et le nombre d'orbites ? Je ne suis déjà pas
> très familié avec le groupe des isométries :
> qu'entendez-vous par "un élément de O(q) qui
> envoit F sur F'" ? Pour moi, O(q)={ f de GL(3;R) :
> qof=q } donc on regarde les f tels que f(F)=F' ?

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Bonjour,

J'ai un peu de mal à cerner où est le point qui vous pose problème.
La définition de $O(q)$ que vous mentionnez est tout à fait correcte
et celle de l'action de $O(q)$ sur l'ensemble des droites vectorielles de $\mathbb{R}^3$ aussi.

1°) Est-ce que vous voyez bien le rapport entre cette action de $O(q)$ sur les doites vectorielles de $\mathbb{R}^3$ et l'action de $O(q)$ sur le plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ ?

Je suppose que la réponse à cette première question est oui. Donc votre problème est bien de déterminer les orbites de l'action du groupe $O(q)$ sur l'ensemble des droites vectorielles de $\mathbb{R}^3$. Deux droites vectorielles $F$ et $F'$ sont dans la même orbite si et seulement s'il existe $f \in O(q)$ tel que $f(F)=F'$.
Or, comme vous l'avez cité très exactement, le théorème de Witt dit (pour $E= \mathbb{R}^3$ et $q$ la forme quadratique non dégénérée qui vous est donnée) :
"Si $\sigma$ est une isométrie de $F$ dans $F'$ (deux droites vectorielles de $\mathbb{R}^3$) alors $\sigma$ se prolonge en un élément $f$ de $O(q)$."

2°) Etes-vous bien d'accord que l'énoncé ci-dessus n'est que la reformulation, dans le cas qui vous intéresse, de l'énoncé du théorème de Witt?

3°) Etes-vous aussi d'accord que l'énoncé entre guillemets entraîne qu'une condition suffisante pour que $F$ et $F'$ soit dans la même orbite pour l'action de $O(q)$ est qu'il existe une isométrie de la droite vectorielle $F$ munie de la restriction de $q$ sur la droite vectorielle $F'$ munie elle aussi de la restriction de $q$ ?

A partir de là, on doit examiner la question de la classification à isométrie près des formes quadratiques réelles de dimension 1.

4°) Toujours d'accord ?

Si oui, il reste encore un peu de travail pour tout mettre en place, mais je pense que vous pouvez le faire.
Cordialement
Michel Coste

[La case LaTeX AD]