produit semi-direct

Sur ton ensemble "$DA = \{\ (a,b) \mid a \in A ;\ b \in\{-1, 1\}\ \}$". Il y a plusieurs lois possibles qui le munissent d'une structure de groupe.

La plus simple est $(a,b) \star (c,d) = (ac,bd)$. Le groupe obtenu est alors appelé produit direct de $A$ par $\{-1, 1\}$

Ton exemple $(a,b) \ast (c,d) = (ac^b,bd)$ permet d'obtenir une autre structure de groupes sur le même ensemble sous-jacent. Pour la distinguer de la première, on l'appelle produit semi-direct. Pour avoir droit à cette appellation, il faut que $DA$ admette un sous-groupe distingué isomorphe à $A$, et que le groupe quotient $DA/A$ soit isomorphe à $\{-1, 1\}$ (dans ton exemple, on peut remplacer $\{-1, 1\}$ par un autre groupe).

nicolas.patrois,

Je ne connais pas parfaitement l'organisation des études en premier cycle universitaire à l'heure actuelle, et en plus cela dépend des fac ; mais il est fort possible que le pauvre alex2 entende parler de produit semi-direct pour la première fois dans son cours de géométrie, et qu'il n'en ait jamais vu dans le cours d'algèbre élémentaire de L1, s'il n'a pas eu l'occasion de faire de module d'approfondissement sur la théorie des groupes. Et le prof de géométrie de considérer, bien évidemment, que tous ses étudiants sont au top sur la question.

Voici une explication pour la formule (a,b)*(c,d)=(ac^b,bd) (en supposant que c^b signifie bcb^(-1)).

Supposons que dans un groupe G, on se donne deux sous-groupes A et B tels que tout élément de G puisse s'écrire sous la forme ab avec a€A et b€B. Si, de plus, je suppose A inter B={e} (e neutre de G), cette écriture sera unique (car si ab=a'b', alors a'^(-1)a=b'b^(-1), d'où a'^(-1)a=e et b'b^(-1)=e, donc a=a' et b=b').

Ainsi, l'application AxB-->G:(a,b)-->ab est une bijection, ce qui, par transport de structure, munit le produit cartésien AxB d'une structure de groupe.

On aimerait alors décrire cette structure de manière plus précise. Cela revient à résoudre le problème suivant : étant deux éléments g,h€G et leurs décompositions g=ab et h=cd (avec a,c€A et b,d€B), quelle sera la décomposition du produit gh ? Le hic, c'est que dans gh=abcd, on ne peut pas échanger les facteurs b et c s'ils ne commutent pas.

Mais si A est normal dans G, la décomposition gh=abcd=abcb^(-1)bd=(ac^b)(bd) convient, puisqu'on a bien c^b€A, donc ac^b€A aussi (et bien sûr bd€B). En transportant cette formule dans AxB via la bijection ci-dessus, on obtient la formule que tu as donnée.

On rassemble alors les hypothèses que nous avons dû faire en une définition : si A et B sont deux sous-groupes d'un groupe G, alors celui-ci est appelé produit semi-direct de B par A si :
* G=AB (càd. tout élément de G s'écrit sous la forme ab avec a€A et b€B),
* A inter B={e},
* A est normal dans G.

(Dans le cas particulier où B est également normal, on a c^b=c (exercice), donc la multiplication induite sur AxB est la multiplication composante par composante, et on parle alors de produit direct.)

Il existe une autre manière d'introduire les produits semi-directs, en partant non pas de deux sous-groupes d'un groupe plus gros (prod. s-d. «intérieur»), mais en partant de deux groupes et en construisant directement une structure de groupe sur leur produit cartésien (prod. s-d. «extérieur»).

Mais en géométrie, les produits semi-directs se présentent généralement sous la forme que j'ai décrite plus haut. En voici deux exemples.

1) Soient I le groupe des isométries du plan euclidien, T le sous-groupe des translations et I_p le sous-groupe des isométries fixant un point p donné du plan. Alors I est le produit semi-direct de I_p par T. On peut bien sûr remplacer le plan par un espace affine euclidien de dimension quelconque. On peut aussi laisser tomber la structure euclidienne et remplacer I par le groupe des transformations affines ; cela donne toujours un produit semi-direct.

2) Soient D_n le groupe des 2n isométries du plan conservant un n-gone régulier donné, et C_n le sous-groupe des n rotations conservant ce n-gone. Pour tout choix d'une réflexion s dans D_n, D_n sera alors produit semi-direct de {e,s} par C_n. Notons que C_n est bien abélien (ses éléments sont des rotations ayant toutes le même centre) et que {e,s} est bien isomorphe à {e,s}, donc je soupçonne qu'il s'agit de la situation que tu décris en dernier lieu (ou peut-être un cas particulier -- tes notations ne sont pas très explicites).

Bonsoir Alex

Tout a déjà été dit, mais précisons bien d'où on part.
{\bf (I)} Si on part d'un groupe ayant 2 sous-groupes $H, K$ vérifiant ces 3 conditions (somme toute assez contraignantes) :
$(1)\ H\lhd G$
$(2)\ H.K = G$
$(3)\ H\cap K = \{1\}$
Alors le groupe $G$ se décompose en un produit semi-direct (interne) de $K$ par $H$.
Tout élément $g\in G$ se décompose (à cause de (2)) de manière unique (à cause de (3)) en $g=hk,\ h\in H,\ k\in K$.
La loi de composition est celle de $G$. La composition $(h_1k_1)(h_2k_2)$ est la composition dans $G$ donc
\begin {center} $(h_1k_1)(h_2k_2) = h_1k_1h_2k_2 = h_1k_1h_2(k_1^{-1}k_1)k_2 = h_1(k_1h_2k_1^{-1})(k_1k_2)$
\end{center}
Mais d'après (1) $(k_1h_2k_1^{-1})\in H$ et donc $h_1k_1h_2k_1^{-1} \in H,\ k_1k_2\in K$
On a donc la décomposition (qui est unique d'après (3)) de $(h_1k_1)(h_2k_2)$ en un produit d'un élément de $H : h_1k_1h_2k_1^{-1}$ et d'un élément de $K : k_1k_2$.
Tu remarques que $h\mapsto khk^{-1}= int_k(h)$ est un automorphisme de $H$, (puisque $H \lhd G$ ).
Attention $int_k$ est un automorphisme {\it intérieur} de $G$ mais pas de $H$ (puisque $k\not\in H$ )

{\bf (II)} Par contre si maintenant on ne connait pas $G$, mais on dispose de 2 groupes $H,K$ qui a priori n'ont rien à voir entre eux, on va former un groupe, qu'on va appeler $G$, mais alors il faut définir les éléments de $G$ et la loi de composition qu'on va mettre dessus.
Naturellement $G = H \times K$ (en tant qu'ensemble : produit cartésien).
Sur cet ensemble on va définir une loi de composition. Pour cela on aura besoin d'un morphisme de groupe \quad $\sigma : K \rightarrow Aut(H)$, ce qui est le pendant de nos 3 conditions contraignantes ci-dessus, parce qu'entre 2 groupes quelconques, mis à part le morphisme trivial, ici $(k\mapsto id_H)$,
il n'existe pas toujours de morphisme de groupes entre eux.
Bref, ce morphisme $\sigma$ va nous permettre de définir une loi de composition sur $G=H\times K$ par :
$$(h,k)\star (h',k') = \big(h\sigma(k)(h'), kk'\big)$$ Ca marche bien parceque $\sigma(k) \in Aut(H) : h\mapsto \sigma(k)(h) \in H$.
On vérifie que $\star$ est une loi de composition qui confère à $G=H\times K$ une structure de groupe : de neutre $(1_H,1_K)$ et d'inverse $(h,k)^{-1}=\big(\sigma(k^{-1})(h^{-1}),k^{-1}\big)$.
Le fait que $\sigma$ soit un morphisme de groupes est important ici.

Mais maintenant qu'on a construit notre $G$, on se rend compte que $\mathcal{H}=H\times\{1_K\}$ et $\mathcal{K}=\{1_H\}\times K$ sont des sous-groupes de $G$, trivialement isomorphes respectivement à $H$ et $K$, et en tant que sous-groupes de $G$, ils satisfont les 3 conditions ci-dessus, ce qui permet de dire que $G$ est le produit semi-direct de $\mathcal{K}$ par $\mathcal{H}$, et la boucle est bouclée par les isomorphismes (que j'ai qualifiés de trivial) $H \xrightarrow{\ i\ } \mathcal{H}=H\times\{1_K\},\ \ i(h)=(h,1_K)$ et $K \xrightarrow{\ j\ } \mathcal{K}= \{1_H\}\times K,\ \ j(k)=(1_H,k)$.

Comme je le disais plus haut, le $\sigma$ peut toujours être choisi comme le morphisme trivial $K\rightarrow Aut(H),\ (k\mapsto id_H)$, et dans ce cas, le produit semi-direct est tout simplement le produit direct de $K$ par $H$.
Si le morphisme $\sigma$ choisi n'est pas trivial, le groupe $G$ obtenu n'est pas commutatif (voir que $(1,k)\star(h,1)\neq (h,1)\star(1,k)=(h,k)$ pour au moins un $h$ et un $k$).

Pour revenir à tes questions, puisque $A$ est commutatif, $DA$ est le groupe diédral "généralisé" de $\Z/2\Z=\{-1,1\}$ par $A$, où le morphisme $\sigma : \{-1,1\} \rightarrow Aut(A)$ est défini par $\sigma(-1) = (a\mapsto a^{-1})$, qui est bien un automorphisme de $A$ puisque $A$ est commutatif. La composition est :
$(a,1)\star(c,d) = (ac,d)$
$(a,-1)\star(c,d) = (ac^{-1},-d)$
La notation $c^b$ est tout simplement $\sigma(b)(c)$ qui vaut $c$ si $b=1$ et $c^{-1}$ si $b=-1$.

Si tu as encore des incompréhensions, n'hésite pas à les formuler ici.
Alain