formes quadratiques Gauss

Parce que réduire une forme quadratique en carrés, c'est rendre sa matrice diagonale, tout en conservant le rang : le nombre de termes diagonaux non nuls est donc nécessairement égal au rang de la forme.

La forme quadratique est décomposée en $q = a_1\phi_1^2 + a_2\phi_2^2 + \cdots + a_r\phi_r^2$, avec les formes linéaires $\phi_1$, $\phi_2$, \ldots, $\phi_r$, linéairement indépendantes, et des scalaires $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ tous non nuls.

On complète cette famille de forme en une base $(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ du dual $E^*$. Dans la base de $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$, duale de $(\phi_1,\ldots,\phi_n)$, la matrice de $q$ est diagonale, c'est $\textrm{diag}(a_1,\ldots,a_r,0,\dots,0)$.
Elle est donc de rang $r$.

En fait, ce n'est pas le nombre de formes linéaires qui est égal au rang de la forme, c'est le rang de la forme qui est égal au nombre de formes linéaires (ce qui revient techniquement à la même chose).