max du déterminant d'une matrice symétrique

En fonction de quoi cherches-tu à borner le déterminant de la matrice symétriquement.
Intrinsèquement, si l'on prend la matrice $\lambda.I_n$, le déterminant est $\lambda^n$, et il est non majoré...

Ca ne peut pas marcher avec le produit des éléments diagonaux... car il peut y avoir un 0 sur la diagonale d'une matrice symétrique inversible. Ex :
[1 1 1]
[1 0 1]
[1 1 0]
qui a pour déterminant 1 et pour produit des coefficients diagonaux 0.

Bonjour,

Pour une matrice symétrique semi-définie positive $M$, l'inégalité arithmético-géométrique permet bien de borner le déterminant par $\left(\frac{1}{n}\,\mbox{trace}(M)\right)^n$, comme vous le faites pour les matrices que vous considérez.

Par contre, pour une matrice symétrique quelconque, il n'y a pas moyen de borner la valeur absolue du déterminant en fonction des éléments diagonaux : considérer $\left( \begin{array}{cc} 0&a\\ a&0 \end{array}\right)$. La seule borne que je connaisse dans ce cas-là est la borne de Hadamard : le produit des normes euclidiennes des vecteurs colonnes. Cette borne vaut pour n'importe quelle matrice, et elle se comprend bien quand on pense le déterminant comme volume.

Cordialement,

M. Coste

Dire qu'une matrice est symétrique définie positive ne signifie pas que tous ses coefficients sont eux-même positifs, mais juste que ${}^t X A X\ge 0$ pour tout vecteur $X={}^t(x_1\ x_2\ \dots\ x_n)$.

Or, une « matrice de Gram » (de la forme $a_{ij}=\langle x_i|x_j\rangle$, où $\langle \cdot|\cdot\rangle$ est un produit scalaire sur un espace préhilbertien $E$ et la famille $(x_1,\dots,x_n)$ est un $n$-uplet d'éléments de $E$ est toujours positive (et même définie positive dès que la famille $(x_1,\dots,x_n)$ est libre). En effet, si $A$ est tel qu'indiqué et $\Lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ est un vecteur quelquonque de $\R^n$, on a:
$${}^t\Lambda A\Lambda=\Big\langle\sum \lambda_ix_i\Big| \sum \lambda_ix_i\Big\rangle$$

Et une matrice de corrélation est bien de ce type ... donc une matrice de corrélation est bien positive.