Sous-corps
Problème de démonstration :
Soit k un nombre algébrique. Q et C sont respectivement l'ensemble des nombres rationnels et des nombres complexes.
Soient f et g deux polynomes de Q[X], avec g(k) différent de 0.
Q(k) contient Q et k et est stable pour l'addition, la multiplication et le passage à l'inverse. Doonc f(k), g(k) et f(k)/g(k) sont dans Q(k).
Comment montrer que l'ensemble des complexes de la forme f(k)/g(k) (avec f, g appartenant à Q[X], g(k) différent de 0) est un sous-corps de C contenant Q et k.
J'ai réellement besoin de votre aide car par la suite, j'ai pas mal de démonstrations du même genre que je ne comprends pas vraiment.
Merci d'avance.
Emmeline
Soit k un nombre algébrique. Q et C sont respectivement l'ensemble des nombres rationnels et des nombres complexes.
Soient f et g deux polynomes de Q[X], avec g(k) différent de 0.
Q(k) contient Q et k et est stable pour l'addition, la multiplication et le passage à l'inverse. Doonc f(k), g(k) et f(k)/g(k) sont dans Q(k).
Comment montrer que l'ensemble des complexes de la forme f(k)/g(k) (avec f, g appartenant à Q[X], g(k) différent de 0) est un sous-corps de C contenant Q et k.
J'ai réellement besoin de votre aide car par la suite, j'ai pas mal de démonstrations du même genre que je ne comprends pas vraiment.
Merci d'avance.
Emmeline
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Réponses
La stabilité par addition et multiplication est facile à obtenir. Pour la stabilité par passage à l'inverse, il faut utiliser le fait que $k$ est algébrique ! On note $p$ son polynôme minimal (un générateur unitaire de l'idéal $I$ des polynômes qui s'annulent en $k$). Puisque $g(k) \neq 0$, on a $g \not\in I$ donc $p$ ne divise pas $g$ et puisque $p$ est irréductible, $p$ et $g$ sont premiers entre eux. Tu peux donc écrire une relation de Bezout entre polynômes : $ug+vp=1$. En évaluant cette relation en $k$ tu en déduiras l'existence d'un inverse de $g(k)$ dans $\Q(k)$.
je ne cois pas l'intérêt du polynôme minimal : si $z \neq 0$ est de la forme $\dfrac{f(k}{g(k)}$ avec $g(k) \neq 0$, alors $f(k) \neq 0$ et $\dfrac{1}{z} = \dfrac{g(k)}{f(k)}$ a la forme voulue.
Conclusion : Emmeline, tu peux oublier mon raisonnement pour cet exo (mais peut-être te servira-t-il pour montrer que $\Q[k]$, l'ensemble des $f(k)$ où $f$ décrit $\Q[X]$, est un corps lorsque $k$ est algébrique).
Donc merci.
Emm