Groupe de permutation S4

pat0 · February 2007

Alors voici le début d'un exercice, je ne souhaite pas qu'on me le
résolve pour l'instant mais qu'on m'explique cet élément neutre :

On considère le groupe de permuations $S_4$ et le sous ensemble
$Y=\{\sigma\in{S_4} | \sigma^2=e\}$. Ici $e\in{S_4}$ désigne
l'élément neutre.

1) Déterminer les éléments de Y.

Je vois que e appartient à Y, et je dois trouver donc des éléments
de $S_4$ qui après deux permutations doit me donner l'élément
neutre, est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer.

merci

Longjing · February 2007

Il y a sans doute quelque chose qui m'échappe...

$e$ est dans $Y$, soit.
Ensuite on cherche les permutations, qui, composées avec elles-mêmes donnent l'identité. Ce ne sont pas des transpositions ?

gb · February 2007

Ta phrase
{\it Je vois que e appartient à Y, et je dois trouver donc des éléments de $S_4$ qui après deux permutations doit me donner l'élément neutre}
me semble particulièrement absconse.
Que peut donner un élément de $S_4$ après deux permutations ? Ça n'a aucun sens.

Un élément $\sigma$ de $S_4$, c'est une permutation, et $\sigma^2$ c'est la permutation obtenue en réitérant $\sigma$ 2 fois de suite. On te demande donc les permutations de 4 éléments qui, répétées, n'ont finalement rien changé.

Exemple : 4 personnes sont assises autour d'une table ronde.
1) $\sigma$, c'est : chaque personne prend la place de son voisin de droite. Si je réitére, les gens n'ont pas retrouvé leurs places initiales, c.-à-d. $\sigma^2 \neq e$.

2) $\sigma$, c'est : chaque personne prend la place de celle qui lui fait face. Si je réitère, les gens retrouvent leurs places initiales, c.-à-d. $\sigma^2 = e$.

gb · February 2007

Longjing,

Je t'aime bien, mais {\bf GRRRRR !!!!!}

Je ne t'ai donc rien appris ?

Longjing · February 2007

Bon, j'ai déclenché le courroux du maître.
Bon je reprends ; les transpositions sont bien dans $Y$, ainsi que la composée de deux transpositions, non ?

gb · February 2007

Longjing,

Re-{\bf GRRRRR !!!!!}

Penses-tu vraiment que, pour deux transpostions quelconques, l'on ait toujours $(\sigma\tau)(\sigma\tau) = (\sigma\sigma)(\tau\tau) = e$ ?

Bouge un peu mes clients autour de leur table pour voir.

Longjing · February 2007

A condition d'avoir des cycles à supports disjoints, non ?

Je vais essayer de remuer les $4$ joueurs de belote.
$(1\,2)(3\, 4)$ ; ça marche.
Et $(1\, 2)(2 \, 3)$ ça ne marche pas ; je vais rouvrir un cours, ça vaudra mieux, avant de te faire tourner en bourrique.

gb · February 2007

Mon très cher Longjing,

Comme tu l'as dit par ailleurs :

{\it Bien au contraire ! Il est toujours intéressant d'avoir des avis (convergents ou divergents), des précisions, des critiques,... au fil d'un post dont la teneur est mathématique.
De plus ton intervention permet à l'auteur de la question initiale de se rendre compte qu'une intervention n'est pas une réponse définitive et acquise.}

Je rajouterai que Pat, qui a lancé le fil, apprend ainsi que mêmes les problèmes simples ne sont pas "évidents", et que l'intuition demande toujours à être cautionnée par la rigueur.

Longjing · February 2007

{\it et que l'intuition demande toujours à être cautionnée par la rigueur.}

Ce qui s'appuie nécessairement par une connaissance du cours, qui me fait parfois bien défaut des années plus tard. Mea Culpa.

pat0 · February 2007

donc si j'ai bien compris, on a 8 éléments dans Y, et en fait e est
l'identité ?

gb · February 2007

J'en trouve 10 : le neutre, les 6 transpositions, et les trois produits de transpositions à supports disjoints.

Archimède · February 2007

La question était :
Alors voici le début d'un exercice, je ne souhaite pas qu'on me le
résolve pour l'instant mais {\bf qu'on m'explique cet élément neutre}.

Dans le groupe symétrique $S_n$, l'élément neutre est évidemment l'identité de $[\![1,n]\!]$.

pat0 · February 2007

Merci Archimède, c'est exactement la réponse recherchée, j'ai regardé dans plusieurs manuels, on parle toujours d'identité mais jamais de l'élément neutre, donc je comprends mieux maintenant...

bs · February 2007

Si je comprends bien, l'élève n'a pas encore dépassé le maître ...
Bonne journée.

Longjing · February 2007

bs écrivait:

Si je comprends bien, l'élève n'a pas encore dépassé le maître ...

Et je suis loin derrière : une illustration de ce que peut être l'infini.

pat0 · February 2007

Voici les éléments de $Y$ que je trouve :

$Y:=\{e;(12)(34);(13)(24);(14)(23);(12);(34);(13);(24);(14);(23)\}$

Voici la suite de l'exercice :
2) Est-ce que $Y$ est un sous-groupe de $S_4$ ?
On considère maintenant le sous-ensemble $H=Y \setminus\{\mathrm{transpositions\ de}\ S_4\}$.
3) Montrer que $H$ est un sous-groupe abélien de $S_4$.
4) Expliciter un isomorphisme de groupe entre $Z/2Z \times Z/2Z$ et $H$.

==> Pour la 2), je prends donc deux éléments de $Y$, et je regarde si ces deux éléments sont encore dans $Y$; soient $\sigma_1=(12)$ et $\sigma_2=(13)$, on voit que $\sigma_1\circ\sigma_2$ n'appartient pas à $Y$.
(Par contre j'aimerais savoir comment on calcule ce produit, parce à la troisième question je n'arrive pas à calculer le produit de produits de transpositions...)

Groupe de permutation S4

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