SO(2) sur les corps finis

Bonjour.

J'ai un petit problème : qu'appelle-t-on $\mathbb{SO}_k$ sur un corps fini ?

\ldots je continue.

Si $-1$ est un carré dans $k$, disons $-1=i^2$ avec $i\in k$, alors on a l'isomorphisme chinois $f:A=\frac{k[X]}{X^2+1}\to k\times k$ défini par $f(\bar P)=(P(i),P(-i))$.

Remarque : il faut supposer qu'on n'est pas en caractéristique 2. Avec tous ces carrés partout, c'est plus prudent

Le groupe $\mathbf{SO}_2(k)$ qui s'identifiait au sous groupe $G=\{a+b\bar X,\; a,b\in k,\; a^2+b^2=1\}\subset A^\times$. On peut remarquer que, en restriction à $G$, la première projection $k\times k\to k$ est injective ! (en effet, si $a^2+b^2=1$, alors $a-ib$ est l'inverse de $a+ib$). En composant les isomorphismes, on voit donc que $\mathbf{SO}_2(k)$ s'identifie au sous-groupe $H=\{a+ib,\; a,b\in k,\; a^2+b^2=1\}\subset k^\times$. Donc $\mathbf{SO}_2(k)$ est encore cyclique.

Bref, j'ai l'impression que $\mathbf{SO}_2(k)$ est toujours cyclique (il reste le cas de la caractéristique deux\ldots).

[La case LaTeX. AD]