question sur l'image d'une projection

razmokette · February 2007

Bonsoir,
Voilà je voulais vous demander votre avis sur ce sujet.
Je me place dans E un sous espace vectoriel de R
Mon prof m'a demandé de montrer que si p est une projection alors x appartient à Im(p) implique que p(x) = x
J'ai su le montrer en écrivant la définition de x appartient à Im(p) ie
il existe y dans E tel que p(y) = x
p(y)=pop(y)=p(p(y))=p(x)
et p(y) = x d'où p(x) = x

Mais voilà ma question si j'ai x = p(x) , x appartient aussi à Im(p) non?

Merci d'avance

egoroff · February 2007

Salut,

Oui, exactement, pour un projecteur on a équivalence entre $p(x)=x$ et $x \in \mathrm{Im} \, p$. Tu as montré l'implication difficile, et la réciproque est évidente : si $x=p(x)$ alors $x$ est écrit comme $p$ de quelquechose donc il est dans l'image de $p$.

Par contre, un sous-espace de vectoriel de $\R$ ?

Erlangen · February 2007

egoroff Écrivait:

> Par contre, un sous-espace de vectoriel de $\R$ ?

Je suppose qu'au lieu de "sous espace vectoriel de", il faut lire "espace vectoriel sur".

razmokette · February 2007

Oh oui pardon E un espace vectoriel sur R, sinon ça ne veut pas dire grand chose..Il faut vraiment que j'aille dormir plus tôt..Excusez-moi! Merci encore

question sur l'image d'une projection

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