problème avec les projections
Bonjour,
voilà j'ai un exo sur les projections , mais je bloque sur un truc . On a une application s :E->E tel que s(rond)s =identité ,
et on a p =(id+s)/2 et q =id-p , on me demande de montrer que p(rond)p=p bon ça c bon j'a trouvé.Ensuite on pose D1=im(p) et D2=im(q) , on me demande de montrer que im(p)=ker(q) et im(q)=ker(p) , comment fait -on ??? car j'ai essayé de calculer le noyau donc qui vient à résoudre q=0 ou p=0 , mais sur quelle variable travaille t-on ? pouvez vous me donner une méthode pour prouve les égalités du dessus merci,c'est urgent.Merci.
voilà j'ai un exo sur les projections , mais je bloque sur un truc . On a une application s :E->E tel que s(rond)s =identité ,
et on a p =(id+s)/2 et q =id-p , on me demande de montrer que p(rond)p=p bon ça c bon j'a trouvé.Ensuite on pose D1=im(p) et D2=im(q) , on me demande de montrer que im(p)=ker(q) et im(q)=ker(p) , comment fait -on ??? car j'ai essayé de calculer le noyau donc qui vient à résoudre q=0 ou p=0 , mais sur quelle variable travaille t-on ? pouvez vous me donner une méthode pour prouve les égalités du dessus merci,c'est urgent.Merci.
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Réponses
Tu travailles sur des vecteurs me semble-t-il mais tu n'as pas précisé ce qu'est E ; alors...
Il me semble qu'il suffit simplement de procéder par "double inclusion" pour chaque égalité à démontrer, non ?
Ex : pour $Im(p) \subset Ker(q)$
Soit $x \in Im(p)$ alors il existe $y \in E$ tq $x = p(y)$.
On veut montrer que $x \in Ker(q)$, calculons donc $q(x) :$
$q(x) = (q \circ p)(y) = ((Id - p) \circ p)(y) = (p - p \circ p)(y) = (p - p)(y) = 0$
Et ainsi $x \in Ker(q)$.
on définit K:(x,y,z)-->(x,(y+z)/2,(y+z)/2) comment trouver Im(l) ???Merci
> mais aussi comment trouver l'image d'une
> application linéaire ???par exemple
> on définit K:(x,y,z)-->(x,(y+z)/2,(y+z)/2) comment
> trouver Im(l) ???Merci
En notant $g : (x,y,z)-->(x,(y+z)/2,(y+z)/2)$
Trouve d'abord $Ker(g)$, c'est souvent le plus simple. Tu auras alors la dimension de $Ker(g)$ et du coup la dimension $n$ de $Im(g)$. Il ne te restera plus qu'à trouver $n$ vecteurs libres dans $Im(g)$ (si possible évidents) pour en avoir une base.
> on ne trouve pas que q=p ?
Non.
> est-ce toujours la même méthode ?
Souvent.
donc dim(im(l))=2 , mais je ne vois toujours pas coment le trouver , pourrais-je avoir une petite indication merci beaucoup
par exemple , on prend x appartenant à im(q) alors il existe y appartenant à E tel que q(y)=x ensuite on prouve que x appartenant à ker(p) on a p(x)=(p o q)(y)=(p o (id-p))(y)=(p o p-p)(y)=(p-p)(y)=0 est-ce correct ? ou fallait-il que je remplace p par (id+s)/2 comme donné dans l'énoncé ?
Pourrais-je avoir un exemple ?
Merci
> mais au fait , pour montrer que im(q)=Ker(p) on
> procède la même manière ?
> par exemple , on prend x appartenant à im(q) alors
> il existe y appartenant à E tel que q(y)=x ensuite
> on prouve que x appartenant à ker(p) on a p(x)=(p
> o q)(y)=(p o (id-p))(y)=(p o p-p)(y)=(p-p)(y)=0
> est-ce correct ? ou fallait-il que je remplace p
> par (id+s)/2 comme donné dans l'énoncé ?
C'est correct ... mais tu n'as montré qu'une inclusion : $Im(q) \subset Ker(p)$
Il te reste encore à montrer que $Ker(p) \subset Im(q)$...
> comment ça évaluer ? j'ai pas compris
> pourrais-je avoir un exemple ?Merci
Ca veut dire calculer la valeur de l'application en un point donné.
Par exemple : tu peux calculer $l(1, 0, 0) = (1, 0, 0)$.
Et ainsi $(1, 0 ,0)$ est un vecteur de $Im(l)$. Il te reste encore à en trouver un autre qui forme avec $(1, 0, 0)$ une famille libre, pour les raisons indiquées précédemment.
Par conséquent, on calcule l'image de chaque élément de la base et on ne garde qu'une famille libre maximale parmi les résultats trouvés pour obtenir une base.
Une façon d'obtenir cette famille libre maximale est d'appliquer le pivot de Gauss (si on est en dimension finie bien sûr).
toujours pour l'exo où on a l(x,y,z)=(x,(y+z)/2,(y+z)/2)
on pose A1=Im(l) et A2=Ker(l) , on me demande d'écrire la symétrie s , est-ce cette symétrie est de la forme : s(x)=2p(x)-x avec p(x) projection sur A1 parallélement à A2 ?? est- ce correct ?
On choisit x appartenant à Ker(p) , donc on a p(x)=0
et on cherche à montrer que 0 appartient à Im(q) , mais en essayant de calculer p(x) on trouve : p(x)=id -q(x) et ensuite comment avancer plus ?
pour montrer que ker(p) inclut dans im(q) , peut -on dire qu'on a :
il existe x appartenant à ker(p) telque p(x)=0 c'est équivalent à id-q(x)=0 équivalent à q(x)=id donc 0 appartient à Im (q) donc ker(p) inclut dans Im(q) est-ce correct ?
Voici quelques commentaires.
1°) Il est classique (et facile à vérifier par double implication) que, lorsque $p$ est un projecteur d'un espace vectoriel $E$ et $x\in E$,
\centerline{$x\in \mathrm{Im}\, p$ ~~~ si et seulement si ~~~ $x=p(x)$}
De plus, cet énoncé est juste une reformulation de la question $\mathrm{Im}\,p=\mathrm{Ker}\,q$, mais c'est quasiment la moitié de la démonstration qui est effectuée par cette simple reformulation.
2°) Ici, on peut vérifier que $q$ est aussi un projecteur (ce qui peut aider pour montre que $\mathrm{Im}\,q=\mathrm{Ker}\,p$).
3°) Dans ce type d'exercice, on ne peut pas « calculer l'image de l'application linéaire » puisque presque tout est très abstrait. On ne peut que se contenter de la "voir autrement", et c'est justement l'objet de l'exercice.
4°) L'exercice lui-même est extrêmement classique (il fait souvent partie du cours d'ailleurs), de même que les points 1° et 2° ci-dessus.
5°) lol, ton mail de 16:55:21 semble correct, à condition de deviner les quelques fautes de frappes de mathématiques.