forme quadratique oral cenrale

tata · February 2007

Bonsoir
J'ai un exo à vous proposer
Soit $A \in M_n(\R)$ symétrique définie positive. Pour $X \in \R^n$ soit
$q(X)=\det\begin{pmatrix} 0 &{}^tX \\ X & A\end{pmatrix} $ où ${}^tX$ est la transposée de $X$.

Montrer que $q$ est une forme quadratique sur $\R^n$
Déterminer sa matrice dans la base canonique de $\R^n$
Montrer que $q$ est définie négative.

==> Pour la première question j'ai trouvé que la forme polaire associée à $q$ est
$f(X,Y)=\frac{1}{2}$(det(")+det(")) ( c'est pénible d'expliciter les " sur ce message sans latex !)
[N'ayant pas compris ce qui est écrit, je le laisse tel que.

AD]

Bon, il n'y a pas de difficulté pour la première question
mais pour ma deuxième, connaissez-vous un moyen de détermination de la matrice de $q$ sans être obligé de calculer les images successives des éléments de la base canonique ?

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait car je plante dans les calcul !
Merci infiniment

jean · February 2007

Bonsoir,

Pour déterminer la matrice dans la base canonique, je vois mal comment serait-il possible (dans le cas présent) d'y arriver sans calculer ses éléments. Ceci dit, un développement du déterminant par rapport à la première ligne, puis par rapport à la première colonne, donne les valeurs de ces éléments (en fonctions des cofacteurs de $A$ - ceux qui interviennent dans l'expression de la comatrice).

Pour montrer que $q$ est définie négative, Prendre pour $X$ un vecteur colonne quelconque de $A$ (qui est de rang maximal), et faire des opérations élémentaire sur les colonnes (ou les lignes, au choix), pour trouver le résultat (sachant que $\det A>0$).

Cela débloque-t-il la résolution ?

Ritchie · February 2007

Bonsoir,

Voici l'astuce :

La forme polaire de q est donnée par
$f(X,Y)=\det\begin{pmatrix} 0 &{}^tY \\ X & A\end{pmatrix}$
Pour $i$ entre $1$ et $n$, on note $A_i$ le $i^{ieme}$ vecteur colonne de $A$.
Dans la base $B^{'}= (A_1,\dots,A_n)$, la matrice de $f$ est donnée par $-det(A)A$.
La matrice de passage entre la base $B^'$ et la base canonique est simplement la matrice $A^{-1}$.
Dans la base canonique, la matrice de $f$ est donc donnée par $-det(A)A^{-1}$.

Cordialement,

Ritchie

Ritchie · February 2007

A noter que cet exercice ferait un très bon exo d'oral d'agrégation d'ailleurs...
On manipule les opérations élémentaires sur les matrices/déterminants, les changements de base...

Cordialement,

Ritchie

forme quadratique oral cenrale

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