artinien implique noetherien

christophe c · February 2007

Quelqu'uns connait-il une preuve "propre" du fait que tout anneau artinien est noetherien?

Anneau artinien: pas de suite strictement décroissante d'idéaux (pour l'inclusion)

Anneau noetherien: pas de suite strictement croissante d'idéaux (pour l'inclusion)

bs · February 2007

Bonjour,
par exemple : Querré- théorème 4 - p155.
par contre: Z noetherien n'est pas artinien - p84

Fadalbalazambek · February 2007

Le concept cle qui lie la propriete de noetherianite et d'artinianite est celui de {\bf{longueur}} d'un module, qui est definie comme la longueur maximale d'une suite de Jordan-Holder de ce module, i.e dont tous les quotients sont simples.

La propriete importante de la longueur est que si une suite de Jordan-Holder est finie, toute autre suite de Jordan-Holder est finie egalement et de meme longueur (le principe de la demonstration est simple quoiqu'un peu fastidieux, on raffine simultanement deux suites etc...).

Si la longueur de $A$ comme $A-$module est finie alors $A$ est artinien et noetherien comme $A-$module, c'est immediat. Le point cle de la preuve que demande Christophe reside donc dans l'implication

{\bf{Si l'anneau est artinien alors sa longueur est finie.}}

La preuve fait intervenir une autre notion importante d'algebre commutative, celle de {\bf{radical de Jacobson}}. C'est l'intersection des ideaux maximaux, et c'est encore l'ensemble des $y \in A$ tel que pour tout $x \in A$ l'element $1 - xy$ soit inversible.

Je resume maintenant les idees de la preuve parce que c'est un peu long a ecrire en details (voir Malliavin, "algebre commutative", prop. 4.13 et 4.14):

1) on montre qu'il n'y a qu'un nombe fini d'ideaux maximaux, ce qui implique que $A/ J$ est produit fini de corps, et que le radical de Jacobson $J$ est nilpotent.

2) on prend la suite decroissante des $J^k$; il suffit de montrer que les gradues
$J^k / J^{k+1}$ sont des $A/J$-modules de longueur finie. Ils sont deja artiniens, tout se resume donc a montrer que

{\bf{si $A$ est produit fini de $r$ corps commutatifs et $M$ est un $A-$module artinien alors $M$ est de longueur finie.}}

Cela se fait par recurrence sur $r$, entendu que $r=1$ etant immediat (tout espace vectoriel artinien est de dimension finie).

Voila, j'espere que c'est un eclairage un peu utile. On remarquera quand meme que la preuve n'est pas evidente evidente. Je ne sais pas si il en existe une plus courte, c'est tres possible, mais je n'ai pas de references a donner.

christophe c · February 2007

Je te remercie beaucoup et ce qui est vraiment sympa de ta part c'est que tu as signalé les étapes importantes avec mise en relief et sans mentionner les détails

Avec le temps on pourra donc faire une page internet de manière à donner une structure "d'arbre" à cette preuve de façon à ce que les détails vraiment formels ne soient accessibles qu'à partir de 4 clicis minimum.

Il y a un back ground important, malgré tout, dans ta preuve et c'est ça que je voulais enlever. Car finalement, l'énoncé lui-même est hyper pure: la définition d'un anneau c'est quelques mots, et "artinien" et "noetherien" aussi.

En particulier, je {\bf voudrais} éliminer les passages au quotient... Mais, j'avoue, c'est à moi de le faire, il ne s'agit pas d'une invitation adressée aux lecteurs de se taper cette "corvée"

bs · February 2007

J'avais oublié:

Dans son récent livre sur la Théorie des Anneaux, plus précisément l'exercice 17 p51 consacré aux anneaux artiniens, Josette renvoie au "Basic Algebra ll" de N. Jacobson pour la démonstration de ce théorème.

Bonne soirée de la Saint-Valentin à toutes et à tous.

Fadalbalazambek · February 2007

Je crois que l'on peut simplifier une peu la preuve de Malliavin, mais juste un peu, a partir de l'etape

" si $A$ est artinien alors le $A-$module $A$ est de longueur finie",

en remarquant qu'il revient au meme de montrer que le localise $A_{\mathcal{M}}$ en un quelconque de ses ideaux maximaux est de longueur finie; en effet l'existence d'une seule suite de composition finie (i.e a quotients simples) entraine que toutes les autres suites de composition sont finies et de meme longueur. Et une suite de composition de $A_{\mathcal{M}}$ correspond a une suite d'ideaux inclus dans $\mathcal{M}$. De plus $A_{\mathcal{M}}$ est aussi artinien.

Du coup la seule chose qui reste a montrer est que: si $A$ est artinien {\bf{local}} d'ideal maximal $\mathcal{M}$ alors $\mathcal{M}$ est nilpotent. Apres ca la suite $\mathcal{M}^{k+1} \subset \mathcal{M}^k$ possede des gradues $\mathcal{M}^k / \mathcal{M}^{k + 1}$ qui sont des modules artiniens sur des {\bf{corps}}, et on s'evite la recurrence du 2).

Pour montrer maintenant que $\mathcal{M}$ est nilpotent, on procede comme suit (ca je ne l'ai pas detaille dans mon precedent message):

1) tout element $x \in \mathcal{M}$ est nilpotent car la suite $(x)^k$ est decroissante donc stationnaire et il existe $p$ tel que $x^p = a \cdot x^{p+1}$ pour $a \in A$. Comme $1 - a x \notin \mathcal{M}$ il est inversible car $A$ est local.

2) maintenant la suite des ${M}^k$ est stationnaire et il existe $p$ tel que
$$ \mathca{M}^p = (\mathcal{M}^p )^2 \hspace{1cm}(*)$$
Supposons que $\mathcal{M}^p$ soit non nul, alors posons $\mathcal{E}$ l'ensemble des ideaux $I$ tels que $I \cdot \mathcal{M}^p \neq 0$. Il est non vide car $\mathcal{M}^p \in \mathcal{E}$.
Par la propriete d'artinianite l'ensemble $\mathcal{E}$ admet un ideal minimal, necessairement monogene, egal a $(x)$. D'apres (*) et la minimalite de $(x)$ on a immediatement $(x) = x \mathca{M}^p$.
D'ou $x = x y$ avec $y \in \mathca{M}^p$ et $x=0$, absurde.

Bon voila, sauf erreur, c'est une demonstration a peu pres exhaustive. Ca m'a permis de reviser des choses et de remplir un peu ma soiree solitaire de Saint-Valentin.

Fadalbalazambek · February 2007

Finalement si je devais sélectionner l'argument le plus important, c'est ($A$ artinien) $\Longrightarrow$ (tout idéal de $A$ est nilpotent), étant entendu qu'il suffit de le montrer pour un idéal maximal. Si ça c'est fait, le reste n'est que rédaction.

Et cette fois, ce sera mon dernier mot (Jean-Pierre).