vecteur orthogonal
Bonjour,
Je considère un C-espace vectoriel de dimension infinie que je note E. Soit U un vecteur de cet espace. Quelles conditions doivent vérifier les composantes de U pour que celui-ci admette au moins un vecteur orthogonal V (c'est-à-dire U scalaire V=0 avec U scalaire V=somme sur i des U_i.V_i*, U_i et V_i composantes respectives de U et de V et * la conjugaison complexe) dans E, différent du vecteur nul, et dont les composantes forment une progression géométrique ?
Merci d'avance.
Je considère un C-espace vectoriel de dimension infinie que je note E. Soit U un vecteur de cet espace. Quelles conditions doivent vérifier les composantes de U pour que celui-ci admette au moins un vecteur orthogonal V (c'est-à-dire U scalaire V=0 avec U scalaire V=somme sur i des U_i.V_i*, U_i et V_i composantes respectives de U et de V et * la conjugaison complexe) dans E, différent du vecteur nul, et dont les composantes forment une progression géométrique ?
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Réponses
Je pense que Sylvain pensait à une base hilbertienne, non ? En tous cas un vecteur non nul $U$ d'un espace de Hilbert $H$ admet toujours des vecteurs qui lui sont orthoonaux, et même une infinité, et ces vecteurs forment un hyperplan fermé noté $U^{\perp}$. Pour en construire un explicitement il y a mille manières, mais par exemple :
- si $U$ n'a qu'une composante non nulle $u_k$ on choisit $V \neq 0$ tel que $v_k=0$ ;
- s'il existe au moins deux indices distincts $k$ et $l$ tel que $u_k$ et $u_l$ sont non nuls on choisit $V$ dont toutes les composantes sont nulles sauf $v_k=u_l$ et $v_l=-u_k$, comme dans le plan.
Dans ton cas si $u_n=q^n$ on peut choisir $v_1=q$, $v_2=-1$ et $v_k=0$ si $k \not\in \{1,2\}$. Une petite colle : existe-t-il un $V$ non nul, orthogonal à $U$ et dont les composantes sont également en progression géométrique ?
Autrement dit:
1) je connais U
2) je cherche V orthogonal à U tel qu'il existe un complexe q différent de 0 tel que V_(i+1)=q.V_i, avec V_i différent de 0 quel que soit i.
Merci de vos contributions passées et futures.