racines de Polynômes
Bonjour à tous...
Voilà un petit exercice que je n'arrive pas à résoudre :
Soit un polynôme P de degré n, d'abord il fallait calculer : $(1-X)P'-P$
J'ai trouvé $(1-X)P'-P =-(n+1)a_nX^n +\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)(a_{k+1}-a_k)X^k$ (calcul vérifié 2 fois)
et maintenant de trouver les racines de $(1-X)P'-P=X^n$
et là je coince, svp...
Je précise que comme le corps des polynômes n'est pas précisé, je suppose que cela peut éventuellement être C ?
Voilà un petit exercice que je n'arrive pas à résoudre :
Soit un polynôme P de degré n, d'abord il fallait calculer : $(1-X)P'-P$
J'ai trouvé $(1-X)P'-P =-(n+1)a_nX^n +\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)(a_{k+1}-a_k)X^k$ (calcul vérifié 2 fois)
et maintenant de trouver les racines de $(1-X)P'-P=X^n$
et là je coince, svp...
Je précise que comme le corps des polynômes n'est pas précisé, je suppose que cela peut éventuellement être C ?
Réponses
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Salut,
D'accord avec ton calcul, en revanche j'ai plus de mal à comprendre la question : chercher les racines de $(1-X)P'-P=X^n$ ? Je sais chercher les racines d'un polynôme mais pas d'une égalité. Tu voulais peut-être parler des solutions de l'équation $(1-X)P'-P=X^n$. Si c'est le cas alors tu sais que deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux, ce qui te donne un système triangulaire sur les $a_k$, facile à résoudre de proche en proche en partant de $a_n$. -
Bonsoir,
Si par "racines" tu entends "polynômes $P$ qui vérifient ...", alors un polynôme $P=\sum_{k=0}^n a_k X^k$ de degré $n$ solution vérifiera, si ton calcul est juste, ("par unicité des coefficient d'un polynôme")
- $1=-(n+1)a_n$
- $(k+1)(a_{k+1}-a_k)=0$
ce qui permet de calculer tous les coefficients, et (en remontant les calculs), ceci donne une solution. -
Oki oki ....
excusez moi pour l'imprécision....trop vite rédigé !!
la question exacte est, hélas "résoudre l'équation $(1-X)P'-P=X^n$ " ....... -
et oui autant pour moi...encore à confondre X et x .....
merci à tous
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Bonjour!
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