racines de Polynômes

zelda · February 2007

Bonjour à tous...

Voilà un petit exercice que je n'arrive pas à résoudre :

Soit un polynôme P de degré n, d'abord il fallait calculer : $(1-X)P'-P$

J'ai trouvé $(1-X)P'-P =-(n+1)a_nX^n +\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)(a_{k+1}-a_k)X^k$ (calcul vérifié 2 fois)

et maintenant de trouver les racines de $(1-X)P'-P=X^n$
et là je coince, svp...

Je précise que comme le corps des polynômes n'est pas précisé, je suppose que cela peut éventuellement être C ?

egoroff · February 2007

Salut,

D'accord avec ton calcul, en revanche j'ai plus de mal à comprendre la question : chercher les racines de $(1-X)P'-P=X^n$ ? Je sais chercher les racines d'un polynôme mais pas d'une égalité. Tu voulais peut-être parler des solutions de l'équation $(1-X)P'-P=X^n$. Si c'est le cas alors tu sais que deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux, ce qui te donne un système triangulaire sur les $a_k$, facile à résoudre de proche en proche en partant de $a_n$.

jean · February 2007

Bonsoir,

Si par "racines" tu entends "polynômes $P$ qui vérifient ...", alors un polynôme $P=\sum_{k=0}^n a_k X^k$ de degré $n$ solution vérifiera, si ton calcul est juste, ("par unicité des coefficient d'un polynôme")
- $1=-(n+1)a_n$
- $(k+1)(a_{k+1}-a_k)=0$
ce qui permet de calculer tous les coefficients, et (en remontant les calculs), ceci donne une solution.

zelda · February 2007

Oki oki ....

excusez moi pour l'imprécision....trop vite rédigé !!

la question exacte est, hélas "résoudre l'équation $(1-X)P'-P=X^n$ " .......

zelda · February 2007

et oui autant pour moi...encore à confondre X et x .....

merci à tous

racines de Polynômes

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