Un polynôme au carré

jean : Première méthode, on cherche $Q$ sous la forme $Q=\sum a_i X^i$. En calculant les coefficients de $Q^2$ et en identifiant avec les coefficients de $P$, il n'est pas difficile de voir que l'on peut calculer chacun des $a_i$, de proche en proche (l'examen du coefficient constant de $P$ permet d'obtenir $a_0$, puis, connaissant $a_0$, on calcule $a_1$ en examinant le coefficient en $X$, etc.)

Deuxième méthode : $P$ est nécessairement de degré pair $2d'$. On cherche donc un polynôme $Q$ de degré $d'$. Pour cela, on a besoin de la valeur de $Q$ en $d'+1$ points. Il suffit pour cela de prendre le polynôme d'interpolation qui vérifie $Q(n) = \sqrt{P(n)}$ pour tout entier $n$ entre $0$ et $d'$ inclus.

Ces deux méthodes donnent de bons candidats pour la racine carrée de $P$ (si $P$ a une racine carrée, ça ne peut être que le polynôme fourni par l'une ou l'autre méthode). Mais comment vérifier, après, que l'on a effectivement $P=Q^2$ ?

jobherzt : Je ne comprends pas ce que tu veux dire, exactement.