Combinaison linéaire de matrice
Bonjour
Voilà l'énoncé :
soit M une matrice carrée vérifiant : M² - M - 2I = 0
soient J1 et J2 les racines de : J² - J - 2 = 0
On pose L = (M - J1I)/(J2 - J1) et K = (M - J2I)/(J1 - J2)
I = matrice identité
Je cherche M comme combinaison linéaire de L et K.
J'ai essayé de faire L + K, LK et KL pour voir ce que ça donnait et j'ai trouvé :
L + K = I
LK = KL
...
Donc en fait, je ne sais pas trop comment trouver M comme combinaison linéaire.
Je ne demande pas forcément de solution, juste une piste, une méthode, une idée ... quoi que ce soit qui pourrait m'aider à sortir de cette impasse !
Merci beaucoup
Voilà l'énoncé :
soit M une matrice carrée vérifiant : M² - M - 2I = 0
soient J1 et J2 les racines de : J² - J - 2 = 0
On pose L = (M - J1I)/(J2 - J1) et K = (M - J2I)/(J1 - J2)
I = matrice identité
Je cherche M comme combinaison linéaire de L et K.
J'ai essayé de faire L + K, LK et KL pour voir ce que ça donnait et j'ai trouvé :
L + K = I
LK = KL
...
Donc en fait, je ne sais pas trop comment trouver M comme combinaison linéaire.
Je ne demande pas forcément de solution, juste une piste, une méthode, une idée ... quoi que ce soit qui pourrait m'aider à sortir de cette impasse !
Merci beaucoup
Réponses
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J'avais oublié : on a aussi L² = L et K² = K (que je n'arrive pas à démontrer, mais c'est donné dans l'énoncé)
Merci d'avance -
bonsoir, ce n'est qu'un système de 2 équations à deux inconnues à résoudre (en considérant $M$ comme inconnue et les relations définissant $K$ et $L$ comme équations.A demon wind propelled me east of the sun
-
Merci
-
J'ai essayé et j'obtiens le système suivant :
L = (M - J1I)/(J2 - J1)
K = (M - J2I)/(J1 - J2)
Mais je me demandais si, sachant que L + K = I, je pouvais écrire :
L = (M - J1(L + K))/(J2 - J1)
et donc ensuite faire :
L(J2 - J1) = M - J1(L + K)
<=> M = L(J2 - J1) + J1(L + K)
et donc avoir comme combinaison linéaire M = L(J2 - J1) + J1(L + K).
Mais n'ayant pas résolu de système, je ne sais pas si c'est vraiment correct.
Merci encore une fois -
bonjour, I étant combinaison linéaire de L et K, il n'y a rien à redire à cela.A demon wind propelled me east of the sun
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Bonjour!
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