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Combinaison linéaire de matrice

Lala6Lala6
dans Algèbre
Bonjour :)
Voilà l'énoncé :
soit M une matrice carrée vérifiant : M² - M - 2I = 0
soient J1 et J2 les racines de : J² - J - 2 = 0

On pose L = (M - J1I)/(J2 - J1) et K = (M - J2I)/(J1 - J2)
I = matrice identité

Je cherche M comme combinaison linéaire de L et K.

J'ai essayé de faire L + K, LK et KL pour voir ce que ça donnait et j'ai trouvé :
L + K = I
LK = KL

...

Donc en fait, je ne sais pas trop comment trouver M comme combinaison linéaire.
Je ne demande pas forcément de solution, juste une piste, une méthode, une idée ... quoi que ce soit qui pourrait m'aider à sortir de cette impasse !

Merci beaucoup :)

Réponses

  • Lala6Lala6
    J'avais oublié : on a aussi L² = L et K² = K (que je n'arrive pas à démontrer, mais c'est donné dans l'énoncé)

    Merci d'avance :)
  • gilles bensongilles benson
    bonsoir, ce n'est qu'un système de 2 équations à deux inconnues à résoudre (en considérant $M$ comme inconnue et les relations définissant $K$ et $L$ comme équations.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Lala6Lala6
    Merci :)
  • Lala6Lala6
    J'ai essayé et j'obtiens le système suivant :

    L = (M - J1I)/(J2 - J1)
    K = (M - J2I)/(J1 - J2)

    Mais je me demandais si, sachant que L + K = I, je pouvais écrire :
    L = (M - J1(L + K))/(J2 - J1)
    et donc ensuite faire :

    L(J2 - J1) = M - J1(L + K)
    <=> M = L(J2 - J1) + J1(L + K)

    et donc avoir comme combinaison linéaire M = L(J2 - J1) + J1(L + K).
    Mais n'ayant pas résolu de système, je ne sais pas si c'est vraiment correct.

    Merci encore une fois :)
  • gilles bensongilles benson
    bonjour, I étant combinaison linéaire de L et K, il n'y a rien à redire à cela.
    A demon  wind propelled me east of the sun
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