intégrales de Riemann
Bonsoir,
J'ai trouvé deux défintions de "intégrable au sens de Riemann" sur un segment - pour une fonction f à valeurs réelles:
1/ il existe une suite (fn) de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f. (Alors I(f)=lim(I(fn),n->l'infini))
2/ quelque soit epsilon positif, il existe e1 et e2 en escalier telles que e1 et e2 encadrent f et I(e2-e1)<epsilon. (Alors I(f) est le sup des I(e1) = l'inf des I(e2))
Ma question est : ces deux définitions sont elles équivalentes? "Avec les mains" elles le sont, mais pour le démontrer proprement, je bloque... En particulier si pour e1, e2 en escalier I(e1,e2) -> 0 a-t-on nécessairement sup(|e2-e1|) -> 0 ? et aussi peut-on étendre la deuxième définition à E ev normé?:S
Merci de me répondre et désolé si ma question est stupide
J'ai trouvé deux défintions de "intégrable au sens de Riemann" sur un segment - pour une fonction f à valeurs réelles:
1/ il existe une suite (fn) de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f. (Alors I(f)=lim(I(fn),n->l'infini))
2/ quelque soit epsilon positif, il existe e1 et e2 en escalier telles que e1 et e2 encadrent f et I(e2-e1)<epsilon. (Alors I(f) est le sup des I(e1) = l'inf des I(e2))
Ma question est : ces deux définitions sont elles équivalentes? "Avec les mains" elles le sont, mais pour le démontrer proprement, je bloque... En particulier si pour e1, e2 en escalier I(e1,e2) -> 0 a-t-on nécessairement sup(|e2-e1|) -> 0 ? et aussi peut-on étendre la deuxième définition à E ev normé?:S
Merci de me répondre et désolé si ma question est stupide
Réponses
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bonsoir taupal,il est clair que 1)=>2),pour 2)=>1),il suffit de prendre $\epsilon=\frac{1}{n}$ puis choisirune siute de fonction en escalier convenable qui cvu ver f
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Merci, mais c'est précisément pour 2) => 1) que je bloque : je suppose qu'il faut choisir fn entre e1 et e2, mais je n'arive pas à mq alors sup|fn-f| est inférieur à 1/n.
Intuitivement si I(e2-e1) tends vers 0, c'est que e1 et e2 se rapprochent, et comme elles encadrent f, elles se rapprochent de f.
Mais je n'arrive pas à majorer la norme infinie à partir de la majoration de l'intégrale (seul le contraire est trivialissime...)
si quelqu'un a une idée pour faire qqc de propre... Merci encore -
pour $\epsilon=\frac{1}{n}$ soit $s_n et S_n$ deux suites de fonction en escalier tq $s_n\leq f \leq S_n$ et tq $\int(S_n-s_n) \leq 1/n$ donc
$$|f-s_n|=f-s_n \leq S_n-s_n \leq ||S_n-s_n||_\infty$$ et ce dernier membre tend vers 0 et $\int||f-s_n|| \leq 1/n$ et donc il suffit de prendre $f_n=s_n$ -
pardon d'être complétement crétin mais pourquoi "ce dernier terme tend vers 0" C'est ce que je n'arrive pas à avoir à partir de I(Sn-sn)->0
J'ai seulement I(Sn-sn) =< (b-a)*sup(Sn-sn) et pas le contraire...
merci de votre patience ... -
oui tu a raison,peut etre il faut proceder autrement
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bonjour, cette définition:
"1/ il existe une suite (fn) de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f. "
est celle d'une fonction régléeA demon wind propelled me east of the sun -
Bonjour,
les fonctions réglées n'étant pas au programme de taupe, dsl pour cette imprécision. En spé on ne travaille que sur des fonctions continues par morceaux.
donc réglée => Riemann intégrable et pas l'inverse.
Alors quelle est la définition de Riemann intégrable pour une fonction à valeurs dans un normé? -
bonjour, il faut déjà avoir un espace vectoriel normé complet (espace de Banach); ensuite si cet espace vectoriel normé est de dimension finie, on passe par les composantes dans une base et on se ramène par exemple à une norme adaptée à cette base (théorème sur les normes équivalentes) et on définit l'intégrale via les composantes; dans un espace plus général, on perd beaucoup de propriétés et l'intégrale dépendra de la norme choisie; d'autres que moi pourront compléter cette réponse; par ailleurs il existe des fonctions intégrables au sens de Riemann qui ne sont pas réglées, le fait d'être réglée interdisant je pense qu'il y ait des discontinuités de deuxième espèce; par suite: $x \mapsto \sin(\frac{1}{x})$ est intégrable au sens de Riemann mais pas réglée.
[La case LaTeX. AD]A demon wind propelled me east of the sun
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