inversibilité dans un anneau

Bonjour, je ne suis pas un spécialiste, mais il me semble que $\omega-1$ est inversible dans $\Z[\omega]$ si et seulement si (par définition) il existe $P\in\Z[X]$ tel que $(\omega-1)\,P(\omega)=1$, ce qui équivaut au fait qu'il existe $P$ (le même) et $Q$ dans $\Z[X]$ tel que
$$(X-1)\,P(X)+Q(X)\Phi_n(X)=1$$
où $\Phi_n$ est le polynôme cyclotomique d'ordre $n$, c'est à dire le produit des $(X-\zeta)$, où $\zeta$ décrit l'ensemble des racines {\it primitives} $n$-ièmes de l'unité; ceci découle du fait que $\Phi_n$ est le polynôme minimal de $\omega$ sur le corps $\Q$.

Il y a une section du {\it Cours d'Algèbre} de Daniel Perrin (publié aux éditions ellipse) qui traite de cyclotomie, et qui donne pas mal de résultats sur les polynômes cyclotomiques.

Bref, finalement d'après l'identité de Bezout, $\omega-1$ est inversible si et seulement si $(X-1)$ et $\Phi_n$ sont premiers entre eux dans $\Z[X]$. Ceci est toujours vrai dans $\Q[X]$ (faire la division euclidienne de $\Phi_n$ par $X-1$)... je pense que c'est aussi vrai dans $\Z[X]$, mais je ne sais pas le justifier.

bonjour, déjà, dans $\Z[j]$ avec $j=\exp(\frac{2i \pi}{3})$, les éléments inversibles sont $\{\pm 1,\pm j\, \pm j^2 \}$.
Enfin, $1+j+j^2=0$ donne $1+j$ et $1+j^2$ inversibles et effectivement pas $1-j$ et $1-j^2$...

bonsoir, en prenant $\displaystyle \omega = \exp(\frac{2i \pi}{p})$, on a:
$$\omega -1 = 2i \sin(\frac{i \pi}{p}) \exp(\frac{i \pi}{p})$$
en utilisant les formules d'Euler...
Donc:
$$\omega -1 \text{ inversible ssi } 2 \sin(\frac{i \pi}{p}) = \pm 1$$
avec $p$ entier naturel

donc ssi $p = 6$

évidemment ma conception de l'inversibilité doit être un peu simpliste.

On peut tout de même ajouter (après recherche) que les seules racines de l'unité dans $\Q[\omega]$ sont les puissances de $\omega$ et que toute unité de $\Z[\omega]$ est de la forme
$\lambda {\omega}^r$ avec $r \in \N \text{ et } \lambda \in \R$.

Après, il y a une caractérisation de ces unités (éléments inversibles) mais c'est de la théorie des nombres "hard core": théorème des unités de Dirichlet et ne répond pas à ce problème spécifique.

Effectivement, on a $\Phi _5(X)=X^4-X^3+X^2-X+1$ et donc: si $\displaystyle \omega = \exp(\frac{2i \pi}{10}) = \exp(\frac{i \pi}{5})$, on a:
$$1= -{\omega}^4+{\omega}^3-{\omega}^2+\omega = -{\omega}^3(\omega - 1 )-\omega (\omega - 1 ) = (\omega - 1 )(-{\omega}^3 -\omega )$$
ce qui prouve bien que $\omega - 1$ est une unité avec:
$$ (\omega-1)^{-1} = -\omega^3 - \omega = -2\cos(\frac{4 \pi}{5}){\omega}^7$$
et on retrouve la caractérisation précédente des unités dans un corps cyclotomique.

Plus généralement, on peut montrer que si $n = p^e m$ avec $p$ premier, $e \geq 1$ et $p$ et $m$ premiers entre eux, alors $\Phi_n(1) = p$ si $m=1$ et $\Phi_n(1) = 1$ sinon. Voir le lemme 1 de \lien{http://www.st.hirosaki-u.ac.jp/contents/Bulletin/Vol06_No2/bulletin_Vol6_2.pdf}

Cela montre que $X-1$ divise $\Phi_n(X)-1$ dans $\Z[X]$ dès que $n$ n'est pas la puissance d'un nombre premier et donc que $\omega-1$ est inversible.

Voici le fichier en pièce jointe.

Pour le lemme manquant, Omar a donné la réponse:
Pour $n$ et $m$ entiers quelconques, on a $pgcd(X^n-1,X^m-1)=X^d-1$
où $d=pgcd(m,n)$. Pour $p$ et $q$ premiers entre eux on obtient
$pgcd(X^p-1,X^q-1)=X-1$

Ecrire la relation de Bezout, permet de donner le lemme.

Richard, ton dernier énoncé est un exercice classique de sup sur les PGCD. De souvenir, il se démontre en effectuant étape par étape l'algorithme d'Euclide sur les deux polynômes (parallèlement à celui sur les deux entiers).

Excusez moi, j'avais oublie de passer a la page 2

Bonjour,

J'ai lu avec intérêt votre travail.
Pour simplifier votre démonstration, on peut se servir des formules
suivantes sur les polynômes cyclotomiques (formules que vous obtenez plus ou moins dans vos démonstrations):
$$\Phi_n(X^p)=\Phi_n(X)\Phi_{np}(X),\quad\mbox{pour $p$ un nombre premier ne divisant pas $n$}.$$
$$\Phi_{p^k}(X)=\Phi_p(X^{p^{k-1}}),\quad\mbox{pour $p$ premier}.$$
Et pour $n=p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_s}$, $p_1,\ldots,p_s$ premiers distincts,
en posant $d=p_1p_2\ldots p_s$, on a
$$\Phi_n(X)=\Phi_d(X^{n/d}).$$
De ces formules, on obtient $\phi_{p^k}(1)=p$, donc $1-\omega$
non inversible dans ${\mathbb Z}[\omega]$, si $\omega$ est une racine
primitive $p^k$--ième de 1.

Pour $n=mp$, $m>1$ et $p$ ne divisant pas $m$ (i.e $n$ admet au moins
2 diviseurs premiers distincts), on a
$\Phi_{m}(1)=\Phi_m(1)\Phi_{mp}(1)$, soit $\Phi_n(1)=1$, et ainsi
$1-\omega$ est inversible dans ${\mathbb Z}[\omega]$
($\omega$ racine primitive $n$--ième de 1). Si $n$ est tel que ses
facteurs premiers sont d'exposants $>1$, on applique la dernière formule.

Amicalement
Omar