Matrice nilpotente et inversibilité
Bonjour,
Je voudrais montrer que $(I_n - N)(I_n + N + \ldots + N^{p - 1})$ est inversible.
Avec $N$ matrice nilpotente d'indice $p$ et $I_n$ matrice identité de dimension $n$.
J'ai montré que $(I_n - N)(I_n + N + \ldots +N^{p - 1}) = (I_n + N + \ldots +N^{p - 1})(I_n - N)$.
Est-ce suffisant ou complètement hors sujet ?
Merci d'avance
[C'est quand même plus lisible en LaTeX AD]
Je voudrais montrer que $(I_n - N)(I_n + N + \ldots + N^{p - 1})$ est inversible.
Avec $N$ matrice nilpotente d'indice $p$ et $I_n$ matrice identité de dimension $n$.
J'ai montré que $(I_n - N)(I_n + N + \ldots +N^{p - 1}) = (I_n + N + \ldots +N^{p - 1})(I_n - N)$.
Est-ce suffisant ou complètement hors sujet ?
Merci d'avance
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Réponses
* Essaie de montrer que ta matrice est produit de deux matrices inversibles
* Puisque N, In et N^k commutent pour tout k, tu peux dévelloper ton produit en quelque chose de plus simple.
En fait, j'étais arrivée au résultat : $I_nN$ = $NI_n$ donc on a bien $I_n - N$ inversible.
Est-ce que c'est correct ?
Re-merci
$(I_n - N)(I_n + N + \ldots + N^{p - 1})=I_n$ non ? ou je déraille ?
$(I_n-N)(I_n+N+\cdots+N^{p - 1}) = (I_n + N + \cdots + N^{p - 1}) - (N+N^2+\cdots+N^{p-1}+N^p) = \ldots$.
Ca donne après simplifications... une matrice très simple.
je pense que le but de l'exo est de montrer que si N est nilpotente alors I-N est inversible
> C'est d'ailleurs vrai sur tout anneau que je
> sache.. Si N est nilpotent, 1-N est inversible.
Est-ce une propriété vraie pour toute matrice nilpotente ?
Comme $N$ est nilpotente d'ordre $p$, on développe et on a
$$(I_n - N)(I_n + N + \ldots + N^{p - 1})=I_n-N^p=I_n$$
Si la question était de montrer l'inversibilité de $I_n-N$, c'est fini puisque tu as trouvé une matrice $M=I_n + N + \ldots + N^{p - 1}$ telle que $(I_n - N)\times M=I_n$, ce qui est la définition : $I_n - N$ est inversible et son inverse est $M=I_n + N + \ldots + N^{p - 1}$.
(Si la question était -mais je n'y crois guère- de montrer l'inversibilité de la matrice-produit $(I_n - N)(I_n + N + \ldots + N^{p - 1})$, c'est encore plus clair, puisque cette matrice n'est autre que la matrice unité $I_n$ qui est évidemment inversible et qui est son propre inverse).
Je ne pensais pas que cette démonstration suffisait en fait.