serie de Fourier et convergence

Luc4 · February 2007

bonjour,

Je souhaiterais quelques précisions au niveau de la convergence des séries de Fourier: je fais des confusions qui me genent.

Dans des exercices on demande par exemple de calculer les coefficients de Fourier et l'on demande d'étudierla convergence de cette serie.

Mes questions:

1) Pour la convergence, on applique les critères des series (critere de d'Alembert par exemple), ?

2) D'après un th du cours (si f periode et C1 par morceaux => s(f) converge en tout point vers 1/2 [f (x-) + f(x+)]. Si f est en plus continue, s(f) converge uniformément vers f sur tout intervalle fermé), doit-on pour étudier la convergence de la série de Fourier, faire une étude de f C1, continuité? et quelle est la différence par rapport à ma question 1)?

Je ne vois pas bien dans quel cas on utilise 1) ou 2) . Merci à ceux qui me répondront.

A+

jps · February 2007

en général, on se sert du critère 2 pour avoir des sommes de séries, ie des calculs de sommes de séries convergentes...

par exemple, en utilisant une "bonne fonction" on peut obtenir que la somme des $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

fran.b · February 2007

3 convergences

1) La convergence dans l'espace de Dirichlet vers l'objet fonction (Sn(f) converge vers f mais Snf(x) peut faire n'importe quoi à priori).
Deux intérêts

* L'inégalité de Bessel est du coup une égalité et cela donne l'égalité de Parseval. Utile pour calculer des sommes.
* Si on a les coefficients de Fourier, on a la fonction: En clair, si deux fonctions C0,m ont même coefficients de Fourier, elles sont égales aux points de discontinuité près (nombre fini par segment).
Application +++: le point 2:

2) Convergence normale de la serie de Fourier (si on l'étudie)
Si une serie de Fourier de fonctions converge normalement, elle converge normalement vers la fonction dont elle est la série de Fourier.
Exemple: x -> racine(|x|) sur [-Pi,Pi] de Pi périodique, n'est pas C1,m et est la limite de sa série de Fourier (car celle ci CVN sur R).

3) La convergence en terme de fonctions: Que fait Snf(x)?
Réponse: les théorèmes de Dirichlet (CV simple si la fonction est C1,m) et CV Normale si la fonction est C0 et C1,m.
Un piège: Dans le cas de la série complexe, il ne s'agit pas pour la CV simple d'une convergence de série mais d'une CV de la suite, en calir la série somme(-infini à +infini) peut être divergente mais la suite somme(-n à n) converge quand n tend vers +oo. (Notion de convergence au sens de la valeur principale, un peu comme l'intégrale entre -oo et +oo de x/(1+x²) qui vaudrait 0 car d'intégrale nulle entre -A et A)
Utilisation lorsqu'on cherche des sommes particulières, typiquement appliqué pour x = 0, Pi/2 ou Pi.
Exemples: Tout plein

Luc4 · March 2007

Bonjour,

Merci beaucoup pour vos remarques.

A+

serie de Fourier et convergence

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Bonjour!

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