normes équivalentes.... calculs pas si simples...
bonjour, un exo à priori "simple" qui amène des calculs moins simples...
Soit $E$ l'espace vectoriel des suites $(u_n)$ telles qu'il existe $a \in R$ tel que pour tout $n \in N$, $$u_{n+2} + u_n = a$$
Donner la dimension de $E$ et une base. (J'ai trouvé 3 comme dimension).
On considère deux normes $|| u || = \sqrt{u_0^2 +u_1^2 +u_2^2}$ et $N(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{ |u_n| }{2^n}$
puisqu'on est en dimension finie, on a l'équivalence des deux normes, mais je n'arrive pas à trouver les constantes $\alpha$ et $\beta$ optimales de majoration : \\
$$\alpha || u || \leq N(u) \leq \beta ||u||$$
une aide svp ?
Soit $E$ l'espace vectoriel des suites $(u_n)$ telles qu'il existe $a \in R$ tel que pour tout $n \in N$, $$u_{n+2} + u_n = a$$
Donner la dimension de $E$ et une base. (J'ai trouvé 3 comme dimension).
On considère deux normes $|| u || = \sqrt{u_0^2 +u_1^2 +u_2^2}$ et $N(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{ |u_n| }{2^n}$
puisqu'on est en dimension finie, on a l'équivalence des deux normes, mais je n'arrive pas à trouver les constantes $\alpha$ et $\beta$ optimales de majoration : \\
$$\alpha || u || \leq N(u) \leq \beta ||u||$$
une aide svp ?
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Réponses
$$u_{n+3} + u_{n+1} = u_{n+2} + u_{n}$$
donc de la forme
$$u_n = a + (b + ic)i^n + (b + ic)(-i)^n$$
avec $a$, $b$ et $c$ réels.
Tu as donc $||u|| = \sqrt{(a+2b)^2 + (a-2c)^2 + (a-2b)^2} = \sqrt{3a^2+8b^2+4c^2-4ac}$,
mais $N(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{u_n}{2^n}$ ne définit pas une norme...
Il suffit de reprendre la "bonne" expression de $N(u)$, l'exprimer en fonction de $a$, $b$ et $c$ pour trouver les constantes $\alpha$ et $\beta$ optimales.
$$N(u) = |u_0| \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 + |u_1| \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^4 + |u_2| \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^4 + |u_3| \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^4$$ V
Vous confirmez ce calcul ?
$$N(u) = u_0 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{4n}} + u_1 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{4n+1}} + u_2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{4n+2}} + u_3 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{4n+3}} = \dfrac{16}{15}u_0 + \dfrac{8}{15}u_1 + \dfrac{4}{15}u_2 + \dfrac{2}{15}(u_2-u_1+u_0)$$
ce qui confirme que ce n'est pas une norme, ce n'est pas positif...
$$N(u) = \dfrac{16}{15} |u_0| + \dfrac{8}{15} |u_1| + \dfrac{4}{15} |u_2| + \dfrac{2}{15} |u_2-u_1+u_0|$$