normes équivalentes.... calculs pas si simples...

jps · February 2007

bonjour, un exo à priori "simple" qui amène des calculs moins simples...

Soit $E$ l'espace vectoriel des suites $(u_n)$ telles qu'il existe $a \in R$ tel que pour tout $n \in N$, $$u_{n+2} + u_n = a$$

Donner la dimension de $E$ et une base. (J'ai trouvé 3 comme dimension).

On considère deux normes $|| u || = \sqrt{u_0^2 +u_1^2 +u_2^2}$ et $N(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{ |u_n| }{2^n}$

puisqu'on est en dimension finie, on a l'équivalence des deux normes, mais je n'arrive pas à trouver les constantes $\alpha$ et $\beta$ optimales de majoration : \\
$$\alpha || u || \leq N(u) \leq \beta ||u||$$

une aide svp ?

Guego · February 2007

Si $(u_n)$ est dans $E$, alors elle est 4-périodique. On peut s'en servir pour calculer explicitement $N(u)$ à l'aide de $u_0$, $u_1$ et $u_2$.

gb · February 2007

$E$ est l'espace des suites réelles qui satisfont à la relation de récurrence
$$u_{n+3} + u_{n+1} = u_{n+2} + u_{n}$$
donc de la forme
$$u_n = a + (b + ic)i^n + (b + ic)(-i)^n$$
avec $a$, $b$ et $c$ réels.

Tu as donc $||u|| = \sqrt{(a+2b)^2 + (a-2c)^2 + (a-2b)^2} = \sqrt{3a^2+8b^2+4c^2-4ac}$,
mais $N(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{u_n}{2^n}$ ne définit pas une norme...
Il suffit de reprendre la "bonne" expression de $N(u)$, l'exprimer en fonction de $a$, $b$ et $c$ pour trouver les constantes $\alpha$ et $\beta$ optimales.

jps · February 2007

Bonne idée, cela donne
$$N(u) = |u_0| \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 + |u_1| \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^4 + |u_2| \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^4 + |u_3| \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^4$$ V
Vous confirmez ce calcul ?

gb · February 2007

Non, avec ta définition de $N(u)$, tu aurais
$$N(u) = u_0 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{4n}} + u_1 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{4n+1}} + u_2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{4n+2}} + u_3 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{4n+3}} = \dfrac{16}{15}u_0 + \dfrac{8}{15}u_1 + \dfrac{4}{15}u_2 + \dfrac{2}{15}(u_2-u_1+u_0)$$
ce qui confirme que ce n'est pas une norme, ce n'est pas positif...