dimension

chubaka · March 2007

bonjour,
je dois trouver le noyau et l'image de l'application linéaire suivante :
f : R[X] ---> R[X]
Q ---> Q'
Pour le noyau j'ai trouvé que c'était l'ensemble des polynomes constants donc dim kerf = 1.
Puis-je déduire directement l'image de f grace à la formule du rang?
Avec la formule du rang rg f = 2-1 = 1 donc Imf = R₀[X]
merci d'avance

Ayman · March 2007

Bonjour,

D'où vient le 2 que tu sors dans ta formule du rang? Attention au cadre d'application de cette formule. La dimension doit être *finie*, ce qui n'est pas le cas pour $\R[X]$.
Pour t'aider à conclure: que peut-on dire de la primitive d'une fonction polynômiale?

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Ayman

chubaka · March 2007

bonjour,
je dois trouver le noyau et l'image de l'aplication suivante :
f : R³---> R⁴
(x,y,z) ---> (x+2z, 2x-y, y-z, x+y+z)
J'ai trouvé que ker f = 0
Puis-je déduire l'image de f de la formule du rang où rg f = 3-0 = 3 donc Imf=R³?
merci d'avance

nicolas.patrois · March 2007

$Im f = \R^3$, ça m’étonnerait. $Im f \cong \R^3$, je veux bien.
En fait, $Im f \subset \R^4$, c’est pour ça que je pinaille.

chubaka · March 2007

je ne vois pas trop pourquoi on cherche à trouver un lien entre la primitive et le polynome vu que l'application linéaire définit la dérivée du polynome...

bisam · March 2007

Si tu écris la définition de l'image de ta fonction $f$ (je parle de la première, celle sur les polynômes) tu obtiens $P \in Im(f) \Leftrightarrow \exists Q \in \R [ X], P=Q'$.
Par conséquent, un polynôme est dans l'image de $f$ si et seulement si il admet un polynôme pour primitive, ce qui est (presque) une évidence.

dimension

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