z ; e^z ; e^e^z ; ... et fractale
dans Algèbre
Bonjour,
Je cherche de la documentation sur une fractale que j'ai "découverte" mais je ne trouve rien :-/ je suis surement pas le premier à remarquer ça (ou alors je serais très content!)
Je m'explique :
soit la suite z ; e^z ; e^e^z ; e^e^e^z ; ...
pour z réel bien entendu la suite diverge vers l'infini
cependant pour z complexe tel que e^z = z (ce nombre est par exemple z=0.3181+i1.3372), la suite est "constante" (je ne sais pas si j'utilise le bon vocabulaire)
alors je me suis demandé comment se comporterait la suite pour d'autres valeurs de z... par exemple est ce que (1+i) ; e^(1+i) ; e^e^(1+i) ; ... diverge ou converge ?
Vu que ça me semblait intéressant et que je n'arrivais pas à répondre à la question, j'ai fait un programme qui calcule les termes de la suite pour chaque z d'une portion du plan complexe, et assigne une couleur au point selon le nombre d'itérations avant que la norme du terme calculé ne dépasse un certain nombre.
J'ai été surpris de tomber sur une très jolie fractale! (aperçu : http://gcheese.free.fr/1.gif)
[Voici en réduction l'image pointée par ce lien. AD]
Je cherche de la documentation sur une fractale que j'ai "découverte" mais je ne trouve rien :-/ je suis surement pas le premier à remarquer ça (ou alors je serais très content!)
Je m'explique :
soit la suite z ; e^z ; e^e^z ; e^e^e^z ; ...
pour z réel bien entendu la suite diverge vers l'infini
cependant pour z complexe tel que e^z = z (ce nombre est par exemple z=0.3181+i1.3372), la suite est "constante" (je ne sais pas si j'utilise le bon vocabulaire)
alors je me suis demandé comment se comporterait la suite pour d'autres valeurs de z... par exemple est ce que (1+i) ; e^(1+i) ; e^e^(1+i) ; ... diverge ou converge ?
Vu que ça me semblait intéressant et que je n'arrivais pas à répondre à la question, j'ai fait un programme qui calcule les termes de la suite pour chaque z d'une portion du plan complexe, et assigne une couleur au point selon le nombre d'itérations avant que la norme du terme calculé ne dépasse un certain nombre.
J'ai été surpris de tomber sur une très jolie fractale! (aperçu : http://gcheese.free.fr/1.gif)
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Réponses
Ce genre de considérations est rassemblé, à ma connaissance, sous le nom de systèmes dynamiques, c'est compliqué dans $\R$ et encore plus dans $\C$ mais ça a effectivement un rapport avec les [objets] fractals, enfin on peut obtenir certaines [courbes] fractales avec des choses dans ce genre là.
Quand à savoir si ta [courbe] fractale est connue ou pas, je n'en ai pas la moindre idée mais elle est jolie !
[fractal, e, als adjectif (du latin fractus : brisé) Larousse. AD]
(par contre, le choix des couleurs laisse à désirer..: j'aurais préféré un beau dégradé de bleu..)
Qu'est ce que l'ensemble de Julia de l'exponentielle ? C'est bien une itération de la fonction f(z)=z²+c, et où donc z prend comme valeur e et c comme valeur un nombre complexe ? Je ne vois pas pourquoi ça serait équivalent à cette fractale :-/
En termes plus concrets, c'est la frontière de l'ensemble des points dont la suite des itérés tend vers $\infty $.