Valeurs propres

Alex219 · March 2007

Bonjour,
si on a deux endomorphismes f et g pour un même K-espace vectoriel E et g est tel que g=P(f) où P est un polynôme (à coef dans K) alors si y est valeur propre de f, P(y) est valeur propre de g.
Ma question est donc : si on prend les images par P de toutes les valeurs propres de f, avons nous obtenues toutes les valeurs propres de g ?
Si on obtient autant de valeurs propres, distinctes, de g que la dimension de l'espace vectoriel E, la réponse est "oui" mais dans les autres cas ?
J'aurai tendance à penser que non...

J'aimerai aussi savoir si le sous espace propre de f associé à la valeur propre y est égal au sous espace propre de g associé à la valeur propre P(y).
merci de votre réponse

jps · March 2007

Si on prend $F$ la matrice de $f$ et si on la trigonalise en $T$ dans $M_n(\mathbb{C})$ alors on voit que $P(T)$ est la matrice de $g=P(f)$ et qu'elle est aussi triangulaire.
Ses valeurs propres sont donc les termes de sa diagonale.
Donc les valeurs propres de $g$ sont forcément de la forme $P(\lambda)$ avec $\lambda$ valeur propre (complexe) de $f$.

Guego · March 2007

jps a bien répondu pour la première question.

Pour la deuxième question, il suffit de prendre pour $f$ une symétrie (non triviale) et $P=X^2$. On a $g=id$ et donc l'espace propre de $g$ associé à la valeur propre $1^2$ n'est pas l'espace propre de $f$ associé à la valeur propre $1$.

cordwainer · March 2007

Bonsoir
Je ne suis pas d'accord avec jps sur la première question : prendre K = R et f une rotation de 90 degrés dans l'espace. f n'a qu'une valeur propre (1) mais f^2 en a deux (-1 et 1).

jps · March 2007

je ne dis pas le contraire...

j'ai parlé de trigonalisation... c'est valable dans $\mathbb{C}$ mais pas toujours dans $\mathbb{R}$

du coup je modifie mon précédent post pour éviter le "problème". Ton exemple de rotation est tout de même intéressant.

Merci

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