Minoration d une trace

La raison de ta {\bf majoration} de $tr(fg)$ est due à la conjonction des faits suivants :
1) $rg(fg) \leq rg(f)$
2) $rg(fg) \leq rg(g)$
3) $tr(fg) \leq rg(fg)$ parce que les valeurs propres de $fg$ sont inférieures à 1.

Salut,
bon je me remet aux maths après 2 ans d'arrêt donc ça sera peut être imparfait.

Je suppose que f et g ne commute pas sinon c'est trivial.

Puisque les projecteurs sont orthogonaux on peut trouver deux bases B1 et B2 orthonormales dans lesquels les matrices respectives de f et g sont diagonales avec autant de 1 que le rang du projecteur et des 0 après.

Soit F et G ces matrices de f et g dans les bases B1 et B2.
On a Tr(fg)=Tr(FPGP^(-1)) avec P matrice orthogonale ( matrice pour passer d'une base orthonormale à l'autre )

En développant on a Tr(fg)= $\sum_{i,k}f_{ii}g_{kk}(p_{ik})^2$
avec $f_{ii}=1$ si $i\leq rg(f)$ et $0$ sinon et de même pour $g$
On peut conclure ensuite en remarquant que les $p_{ik}^2$ sont inférerieurs à $1$ car les coefficients d'une matrice orthogonale réelle sont inférieurs à $1$ en valeur absolue.