Nombres premiers

hisoka974
hisoka974
dans Algèbre
Bonjour, voila mon éxercice :

Soit n supérieur ou éagal à 5, montrer que n!+2, n!+3, n!+4, n!+5 sont non premiers.

Trouver mille eniters consécutifs non premiers

Réponses

  • Longjing
    Longjing
    Bonjour,

    L'intérêt $n!$, c'est d'être un entier composé facile à décomposer en un produit de facteurs.


    Une indication pour $n!+2$ ; les autres sont analogues.

    Vois-tu pourquoi $n!+2$ peut se fatoriser par $2$, autrement dit qu'il est divisible par $2$ ?
    Si tu ne vois pas, écris $n!$ en revenant à sa définition.

    Ensuite, de la même façon...
  • hisoka974
    hisoka974
    oui n!+2 peut se factoriser par 2 puisque n est supérieur ou égal à 5 donc n! posséde le coéfficient 2.
    de meme pour n!+3 qui se factorise par 3
    de meme pour n!+4 qui se factorise par4
    de meme pour n!+5 qui se factorise par5
  • hisoka974
    hisoka974
    oui donc ces entiers admettent des diviseur autres que 1 et eux même et la 2e question est une conclusion directe.
    mais j'aurais une question n'étant pas en rapport avec cet éxercice : comment montrer que 22n+1+1=(22n)2+1 ?
  • hisoka974
    hisoka974
    :S pas d'idées?
  • Longjing
    Longjing
    Il s'agit bien de l'égalité ? $$2^{2n+1}+1=\left(2^{2n}\right)^2+1$$


    et ce pour tout $n$ ?

    parce que pour $n=0$ ça ne marche pas...
  • Aleg
    Aleg
    Hisoka,
    ton égalité $2^{2n+1}+1=(2^{2n})^2+1$ est manifestement fausse puisqu'elle équivaut à $2n+1=4n$..
    N'y aurait-il pas une erreur de frappe ?
  • hisoka974
    hisoka974
    oui dsl c'est bon j'ai trouvé l'érreur et la solution en meme temps en faite c'etait : 2^2n+1 à la place de 22n+1
  • Aleg
    Aleg
    ???
  • hisoka974
    hisoka974
    la puissance associé à 2 n'est pas 2n+1 mais 2n+1
    c'est 2 puissance 2 puissance n+1 en gros
  • Aleg
    Aleg
    Si tu veux dire qu'on aurait
    $$2^{2^{n+1}}+1=(2^{2n})^2+1$$

    c'est toujours aussi faux..
  • hisoka974
    hisoka974
    pourtant 2n+1=2nx2
  • Longjing
    Longjing
    $$2^{2^{n+1}}+1=\left( 2^{2^n} \right)^2+1$$
    Non ?
  • Aleg
    Aleg
    Ah oui, comme ça, c'est beaucoup mieux...
    Mais à quoi donc peut bien servir le 1 qu'on ajoute dans chaque membre de l'égalité..??
  • Longjing
    Longjing
    J'aimerais bien le savoir aussi ; j'avoue avoir essayé de chercher un exo qui pourrait bien se servir d'une égalité aussi puissante...
  • hisoka974
    hisoka974
    je l'ai utilisé dans une des démonstration du théoreme de Fermat
  • Aleg
    Aleg
    Hisoka,
    il n'y a nul besoin d'invoquer le nom de Fermat dans cette histoire toute bête : ça n'est que de la manipulation élémentaire d'exposants..: ne te paraît-il pas évident que
    $$\left( 2^{2^n} \right)^2=2^{2\times 2^n}=2^{2^{n+1}}$$
  • hisoka974
    hisoka974
    oui tout a fait mais j'avais fait un erreur de lecture
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