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Réponses
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En postant la question je crois que j'ai trovué la réponse: si on regroupe les x et x^-1 ils s'éliminent dans le cas où il diffèrent et donc il reste que ceux d'ordre 2. Dites moi si je me trompe.
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Je n’ai pas bien compris la question. Le produit de quoi ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Par contre j'ai un autre problème. On me donne i:E->E une involution d'un ensemble fini E de cardinal n dans lui-même, on appelle r le cardinal de l'ensemble F des points fixes de i, et on me demande de montrer que (n-r) est pair. Je ne sais pas vraiment comment m'y prendre j'aimerais bien un petit indice pour commencer! Merci d'avance !
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Pour nicolas.patrois : le produit de tous les éléments du groupe
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pour ta premiere question : oui, tu as compris. pour la duexieme, une piste : n-r est le cardinal de l'ensemble des "points pas fixes". mais comme $i$ est une involution, $i^2=1$, donc $\forall x \in E, i^2(x)=x$.donc en fait, il faut remarquer que tu peux associer les "points pas fixes" par 2, si $y$ en est un, alors $z=i(y) \neq y$, mais $i^2(y)=i(z)=y$. donc on a a la fois $i(y)=z$ et $i(z)=y$, avec $z\neq y$. donc les points pas fixes vont par 2, donc leur cardinal est pair.
[edit] pb de latex -
Donc en fait si x n'est pas un point fixe de i, i(x)/=x et i²(x)=x donc on peut ranger les éléments par 2: x et i(x) dans l'ensemble des points pas fixes? Car une involution est bijective donc i(x) existe et est unique pour chaque x.
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i(x) existe tjrs, par definition d'une fonction , et l'injectivité est facile a prouver..
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Merci!
On me demande d'en déduire que si g est un groupe fini d'ordre pair, il contient au moins un élément d'ordre 2.
Il faut donc trouver un x tel que x²=1g ... Pareil je crois que j'ai besoin d'un coup de pouce 8-). Je ne vois pas bien comment faire un lien entre ce x et une involution de g pour éventuellement utiliser la question précédente. -
salut,
x -> x-1 est une involution, donc si G est d'ordre pair, les points fixes sont en nombre pair. Or ceux-ci sont les x tels que x2=1. Il en existe donc à part 1, et ils sont d'ordre 2. -
Ha ui merci c'était tout bête en fait !
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