Soit $M\in\hbox{GL}_n(\R)$. On utilise la décomposition polaire :
$M=O\,S$ avec $O\in\hbox{O}_n(\R)$ et $S$ symétrique.
Comme $S$ est symétrique réelle, il existe une base orthonormée formée de vecteurs propres de $S$. Par suite $S$ est orthogonalement semblable à une matrice diagonale :
$S=P\,D\,P^{-1}$ où $P\in\hbox{O}_n(\R)$ et $D$ diagonale.
Finalement
$M=O\,P\,D\,P^{-1}$.
Voilà !
Réponses
$M=O\,S$ avec $O\in\hbox{O}_n(\R)$ et $S$ symétrique.
Comme $S$ est symétrique réelle, il existe une base orthonormée formée de vecteurs propres de $S$. Par suite $S$ est orthogonalement semblable à une matrice diagonale :
$S=P\,D\,P^{-1}$ où $P\in\hbox{O}_n(\R)$ et $D$ diagonale.
Finalement
$M=O\,P\,D\,P^{-1}$.
Voilà !