Dérivation
Bonjour, j'aimerais savoir si mon raisonnement sur l'éxercice suivant est correct ou pas :
Soit f de [a,b] dans R dérivable
1)On note E={(x,y)appartient[a,b]² tel que x < y}
et pour (x,y) qui appartient a E phi(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y)
Montrer que phi(E) est un intervalle.
j'ai d'abord dit que f est continue et que pour x et y dans E on a f(x)-f(y) continue et x-y<0
Donc phi(x,y) est continue donc phi(E) est un intervalle.
2)En déduire que f'([a,b]) est un intervalle
j'ai dit que pour tout alpha dasn [a,b] on a
lim(x->alpha)((f(x)-f(alpha))/x-alpha=lim(x->alpha)phi(x,alpha)=l
avec l qui appartient a phi(E)
donc f'([a,b])=phi(E) qui est un intervalle
Soit f de [a,b] dans R dérivable
1)On note E={(x,y)appartient[a,b]² tel que x < y}
et pour (x,y) qui appartient a E phi(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y)
Montrer que phi(E) est un intervalle.
j'ai d'abord dit que f est continue et que pour x et y dans E on a f(x)-f(y) continue et x-y<0
Donc phi(x,y) est continue donc phi(E) est un intervalle.
2)En déduire que f'([a,b]) est un intervalle
j'ai dit que pour tout alpha dasn [a,b] on a
lim(x->alpha)((f(x)-f(alpha))/x-alpha=lim(x->alpha)phi(x,alpha)=l
avec l qui appartient a phi(E)
donc f'([a,b])=phi(E) qui est un intervalle
Réponses
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désolé, mais c'est absolument illisible..
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oui dsl sa devrait etre mieux comme ça:
Soit f de [a,b] dans R dérivable
1)On note E={(x,y)appartient[a,b]² tel que x < y}
et pour (x,y) qui appartient a E phi(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y)
Montrer que phi(E) est un intervalle.
j'ai d'abord dit que f est continue et que pour x et y dans E on a f(x)-f(y) continue et x-y<0
Donc phi(x,y) est continue donc phi(E) est un intervalle.
2)En déduire que f'([a,b]) est un intervalle
j'ai dit que pour tout alpha dasn [a,b] on a
lim(x->alpha)((f(x)-f(alpha))/x-alpha=lim(x->alpha)phi(x,alpha)=l
avec l qui appartient a phi(E)
donc f'([a,b])=phi(E) qui est un intervalle -
Salut,
La phrase "pour x et y dans E on a f(x)-f(y) continue et x-y<0" sonne très désagréablement je trouve ; pour $x$ et $y$ fixé alors $f(x)-f(y)$ est une constante donc elle est continue, évidemment, mais ça n'apporte rien. Il vaut mieux dire que $(x,y) \mapsto f(x)-f(y)$ et $(x,y) \mapsto x-y$ sont continues sur $E$ et la seconde ne s'annule pas donc $\phi$ est continue (et pas $\varphi(x,y)$, même raison que précédemment, on parle d'une fonction et $\varphi(x,y)$ est un réel) sur $E$, et donc {\bf puisque} $E$ {\bf est connexe}, $\varphi(E)$ est un connexe de $\R$ donc un intervalle.
La seconde question est complètement à revoir ; je ne vois pas où tu as démontré que $f'([a,b])=\varphi(E)$ ! -
comment sait on que E est connexe?
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Il est même convexe.
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E est un ensemble non?comment peut on voir qu'il est convexe?
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Ben, $E$ est une partie du plan, tu peux la dessiner et tu verras mieux ce qui se passe. Ensuite pour montrer qu'elle est convexe tu prends $m_1=(x_1,y_1) \in E$, $m_2=(x_2,y_2) \in E$, $\lambda \in [0,1]$ et tu vérifies que $(1-\lambda)m_1+\lambda m_2 \in E$.
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oui tout a fait je vois mieux avec un dessin merci
mais j'ai du mal à en déduire la 2) -
Réfléchis un peu...
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a premiére vue je dirais que f'([a,b]) est contenut dans phi(E) mais comment le montrer
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Même si c'était vrai (ça ne l'est pas) ça ne montrerait pas que c'est un intervalle !
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j'ai pensé à utilisé le théoreme des accroissement finis mais je n'ai pas abouti
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on peut dire que d'apres le théoreme des accroissements finis tout elements de phi(E) est un f' d'un elément de [a,b] ce qui montre que phi(E) est contenu dans f'([a,b]) mais ce n'est pas suffisant
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Bonjour!
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