Famille libre, famille génératrice, base
Bonsoir
Après la définition de la nilpotence, je cherche des méthodes pour démontrer que des familles sont libres, génératrices.
La seule chose que l'on a vue en cours à présent est qu'une famille libre et génératrice est une base.
Une famille libre est une famille dont les vecteurs ne sont pas liés mais je ne sais pas ce qu'est une famille génératrice, donc difficile de montrer que telle famille est une base.
Je crois également que si le déterminant d'une matrice carrée associée à une famille est différent de zéro, alors la matrice est inversible et donc la famille est libre.
Merci pour votre aide, je sais que c'est un peu fastidieux ce que je vous demande, mais mon prof a de nouveau changé l'ordre du programme et je suis un peu perdue !
Merci d'avance
Après la définition de la nilpotence, je cherche des méthodes pour démontrer que des familles sont libres, génératrices.
La seule chose que l'on a vue en cours à présent est qu'une famille libre et génératrice est une base.
Une famille libre est une famille dont les vecteurs ne sont pas liés mais je ne sais pas ce qu'est une famille génératrice, donc difficile de montrer que telle famille est une base.
Je crois également que si le déterminant d'une matrice carrée associée à une famille est différent de zéro, alors la matrice est inversible et donc la famille est libre.
Merci pour votre aide, je sais que c'est un peu fastidieux ce que je vous demande, mais mon prof a de nouveau changé l'ordre du programme et je suis un peu perdue !
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Réponses
Comme tu l'as dit une famille libre de vecteurs est famille de vecteurs qui ne sont pas liés. Cela peut s'écrire : Soit $(v_1,v_2,...,v_n)$ une famille de vecteurs d'un espace vectoriel $E$ et soit $(x_1,x_2,...,x_n)$ une famille de scalaires. Si $(v_1,v_2,...,v_n)$ est libre alors $\sum_{i=0}^{n}x_i*v_i=0$ implique $x_1=x_2=...=x_n=0$.
Pour dire de cette même famille qu'elle est génératrice il faut pouvoir montrer qu'elle "génère" tous les autres vecteurs c'est-à-dire que tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille.
- une famille qui contient plus de $n$ vecteurs est forcement liée
- une famille qui contient moins de $n$ vecteurs ne peut pas etre generatrice
en fait, pour avoir une base tu dois forcement avoir exactement $n$ vecteurs, et cela joue le role de "joker", cad qu'il te suffit de prouver une seule des 2 propriétés :
- si la famille est libre et contient $n$ vecteurs, alors c'est une base
- si la famille est generatrice et contient $n$ vecteurs, alors c'est une base.
cela simplifie en general pas mal la tache, il y a souvent l'une des 2 propriété qui est plus facile a montrer que l'autre.