Isomorphisme
Bonjour,
Voilà j'ai un problème avec un exo , on a f appartenant aux applications linéaires de E dans E tel que f^3=f²+f+id , on doit montrer que f est isomorphisme ,donc pour la linéarité ça va , mais pr la bijectivité il suffit de montrer que Ker (f)=0 , mais comment procéder dans ce cas là ?
Voilà j'ai un problème avec un exo , on a f appartenant aux applications linéaires de E dans E tel que f^3=f²+f+id , on doit montrer que f est isomorphisme ,donc pour la linéarité ça va , mais pr la bijectivité il suffit de montrer que Ker (f)=0 , mais comment procéder dans ce cas là ?
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Réponses
si x est dans le noyau de f alors f^3(x)-f^2(x)-f(x)-x=0 donc x= ?
En fait voilà comment j'ai fait :
On pose f o f(x)=x et on pose f(x)=0 l'expression devient : f o( fof(x)-f(x))=x
=> f(x)=x =>x=0 => Ker (f)={0} , est ce correct ?
Tu n'imagines même pas à quel point tu as compris un truc absolument essentiel dans les maths en disant ça!
{\it Bonjour,
En fait voilà comment j'ai fait :
On pose f o f(x)=x et on pose f(x)=0 l'expression devient : f o( fof(x)-f(x))=x
=> f(x)=x =>x=0 => Ker (f)={0} , est ce correct ?}
{\bf NON!!!!} Dès lors que tu as le {\bf moindre doute} c'est que ça ne va pas, même pas besoin de lire. Quand tu vas te faire bronzer dans le pacifique, imagines qu'on ait autorisé la construction de l'avion que tu vas prendre alors que l'ingénieur avait dit "voilà mes calculs [...]. Bon bah j'espère que ça va"
Seule une solution qui de toi viendrait pourrait t'inspirer un sentiment de certitude.
Confiance tu ne dois faire à personne, car inmariables sont confiance et certitude...
Déçu je me doute que tu seras par ma réponse, mais ainsi vient la maturité: quand on se rend compte qu'on n'a que ce qu'on a construit
Ton optimisme tu dois garder car avec toi la force est...
Non, non, "sale petit connard" je ne suis pas... Plus tard, tu comprendras
L'indication de Ma\~{} devrait t'amener à la solution ...
Toutefois, une autre piste : $f^3-f^2-f=\mathrm{id}$, que tu écris $f\circ(f^2-f-\mathrm{id}) = \mathrm{id}$ et tu reconnais l'axiome d'existence d'un inverse pour une loi de composition : $\exists a',\ a.a' = 1$
Tu en déduis que $f$ est inversible pour la composition des endomorphismes, donc c'est un isomorphisme. Tu as même l'expression de l'inverse.
Alain
{\bf Mea Culpa!!!!} L'acte de certitude {\bf peut te venir de quelqu'un d'autre} (indirectement), en fait, non parce qu'il t'affirme quelque chose et que tu lui fais confiance, mais parce qu'il te suggère une "piste" et {\bf ça t'inspire} une preuve!
comprendre n'implique pas forcément trouver!
comprendre plus être inspiré {\bf égal} trouver
Peux-tu, {\bf \large en une ligne}, {\bf puisque tu étais prêt à admettre que l'implication} {\it ($f(x)=0$ entraine $x=0$) entraine $f$ isomorphisme} déduire de ce qu'Alain t'a "donné" (il est donc admis tel quel que $f\circ(f^2-f-\mathrm{id}) = \mathrm{id}$) que $f(x)=0$ entraine $x=0$??????
Tes problèmes ne viennent pas d'une mauvaise compréhension du fond, mais du fait que tu souhaites aborder ces sujets avec une approche "impressionniste" du langage mathématique (en tout cas, apparemment)
Quand tu écris "f²(x)=f(f(x))=f(0)"
De quel x tu parles (est-il quelconque, est-il presque quelconque, etc)?
Quand tu écris "en cours, je n'ai pas vu cette propriété"
De quelle propriété tu parles?
Quand tu écris "?" (juste après la première citation), c'est quoi ta question?
Autre question: selon toi est-ce vraiment universel que $f\circ (g+h)=(f\circ g)+(f\circ h)$? ou est-ce réservé aux ap.linéaires?
Autre question: selon toi est-ce vraiment universel que $(g+h)\circ f=(g\circ f)+(h\circ f)$? ou est-ce réservé aux ap.linéaires?
En ce qui concerne la seconde, reprenons. Une fonction $g$ d'un ensemble $A$ dans un ensemble $B$ est bijective si et seulement si il existe une fonction $h$ de $B$ dans $A$ telle que $g \circ h=id_B$ et $h \circ g=id_A$. h est alors appelé l'inverse de $g$.
Maintenant ce qui n'est peut-être pas encore dans ton cours c'est que dans le cas d'une application linéaire, si elle est bijective alors son inverse est également linéaire. Donc f linéaire et bijective est un isomorphisme. Et une deuxième chose peut-être pas dans ton cours (?), c'est que pour montrer qu'une application linéaire en dimension finie est bijective il suffit de démontrer l'existence d'un inverse à droite, ou à gauche.
Voilà ce qu'utilisait AD.
Est-ce plus clair ?
f(f(f(x)))-f²(x)-f(x)=x => f(f(0))-0-0=x =>f(0)-O-O=x=> 0-0-0=x => Ker(f)={0}
[lol : J'ai corrigé, mais pour une bonne compréhension de tes messages, écris tes mots en entier et évite le langage SMS. AD]
Ker(f)={0}
}"
{\bf Et là t'es prêt à mettre ta main à couper?}
Il déduit $Ker(f)=0$ du fait que $f(0)=0$ (en passant par l'hypothèse $f(f(f(x)))-f^2(x)-f(x)=x$ (pour tout $x$, je pense))
Si j'étais mauvaise langue je dirais qu'il "semble" déduire
$f(x)=0$ entraine $x=0$
de
$x=0$ entraine $f(x)=0$
Mais, {\bf moi}, je ne suis pas méchant!
Ker(f)=0"
Moi je m'insurgerais plutôt pour $ker(f)=0$ au lieu du singleton {$0$} (que tu écris aussi), mais peut-être ne suis-je qu'une méchante pinailleuse ?
Une bonne poignée de minutes plus tard: {\bf tu as parfaitement raison}
Par contre, ça confirme ce que je lui disais, finalement il est victime de son "impressionnisme" langagier, car du coup, pourquoi n'a-t-il pas répondu aux moult questions faciles qui étaient sensées "échauffer" son muscle cranien (en particulier celles juste après l'aide fournie par AD?)
Bon, pour expier je {\bf rédige proprement moi-même SA solution}:
{\it Supposons que $f(x)=0$. Alors $f(fx))=_{remplacement\ de\ f(x)\ par\ 0}f(0)=_{valable\ pour\ toute\ application\ lineaire}0$. Et $f(f(f(x)))=f(0)=0$
Par ailleurs, $f(f(f(x)))-f(f(x))-f(x)=_{hypothese}x$ et donc $x=0-0-0=0$
le seul $x$ tel que $f(x)=0$ est donc $0$ et donc $Ker(f)=\{0\}$ (ici un détail, c'est chiant de faire les accolades à chaque fois, surtout en tex... )}
{\bf Bravo à toi lol!!!!} (mais tu as douté à plusieurs moments, et c'est dommage, car de dextérité et concision tu sembles doté...) Avec son pseudo, on peut pas dire "lol"
La bijectivité est alors acquise si $E$ est de dimension FINIE.
Ici, prouver que le noyau de $f$ est nul n'est donc pas suffisant.
Indication pour traiter l'exercice :
(1-X)(X^2+X+1)=1-X^3.
Cela doit vous donner suffisamment d'idée pour prouver que
$$ (\mathrm{Id}-f)f^3=\mathrm{Id}-f^3, $$
d'où $$(2\mathrm{Id}-f)f^3=\mathrm{Id},$$
Sauf erreur de calcul de ma part,
l'inverse de $f$ est donc $(2\mathrm{Id}-f)f^2,$ etc.
Amicalement.
Quand je dis que l'orgueil mène le monde!
annuler veut dire qu'on a une relation f^k+a_(k-1)f^(k-1)+...+a1f+a0id=0
ici f^3=f²+f+id
demo: exo