Isomorphisme

Bonjour,

si x est dans le noyau de f alors f^3(x)-f^2(x)-f(x)-x=0 donc x= ?

{\it Voilà j'ai un problème avec un exo , on a f appartenant aux applications linéaires de E dans E tel que f^3=f²+f+id , on doit montrer que f est isomorphisme ,{\bf donc pour la linéarité ça va}.....}

Tu n'imagines même pas à quel point tu as compris un truc absolument essentiel dans les maths en disant ça!

{\it Bonjour,
En fait voilà comment j'ai fait :
On pose f o f(x)=x et on pose f(x)=0 l'expression devient : f o( fof(x)-f(x))=x
=> f(x)=x =>x=0 => Ker (f)={0} , est ce correct ?}

{\bf NON!!!!} Dès lors que tu as le {\bf moindre doute} c'est que ça ne va pas, même pas besoin de lire. Quand tu vas te faire bronzer dans le pacifique, imagines qu'on ait autorisé la construction de l'avion que tu vas prendre alors que l'ingénieur avait dit "voilà mes calculs [...]. Bon bah j'espère que ça va"

Quoique je te dirais, je ne pourrais augmenter que tes connaissances, et non la liste de tes certitudes...

Seule une solution qui de toi viendrait pourrait t'inspirer un sentiment de certitude.

Confiance tu ne dois faire à personne, car inmariables sont confiance et certitude...

Déçu je me doute que tu seras par ma réponse, mais ainsi vient la maturité: quand on se rend compte qu'on n'a que ce qu'on a construit

Ton optimisme tu dois garder car avec toi la force est...

Non, non, "sale petit connard" je ne suis pas... Plus tard, tu comprendras

Si $f(x)=0$, que vaut $f^2(x)$ ?

Citation de Alain: $f\circ(f^2-f-\mathrm{id}) = \mathrm{id}$

{\bf Mea Culpa!!!!} L'acte de certitude {\bf peut te venir de quelqu'un d'autre} (indirectement), en fait, non parce qu'il t'affirme quelque chose et que tu lui fais confiance, mais parce qu'il te suggère une "piste" et {\bf ça t'inspire} une preuve!

comprendre n'implique pas forcément trouver!

comprendre plus être inspiré {\bf égal} trouver

Peux-tu, {\bf \large en une ligne}, {\bf puisque tu étais prêt à admettre que l'implication} {\it ($f(x)=0$ entraine $x=0$) entraine $f$ isomorphisme} déduire de ce qu'Alain t'a "donné" (il est donc admis tel quel que $f\circ(f^2-f-\mathrm{id}) = \mathrm{id}$) que $f(x)=0$ entraine $x=0$??????

Tu es bien sûr que rien dans ton cours ne te dit ce que vaut $f(0)$ pour $f$ linéaire ?

Pour la première piste, que vaut $f(0)$ pour $f$ linéaire ?
En ce qui concerne la seconde, reprenons. Une fonction $g$ d'un ensemble $A$ dans un ensemble $B$ est bijective si et seulement si il existe une fonction $h$ de $B$ dans $A$ telle que $g \circ h=id_B$ et $h \circ g=id_A$. h est alors appelé l'inverse de $g$.
Maintenant ce qui n'est peut-être pas encore dans ton cours c'est que dans le cas d'une application linéaire, si elle est bijective alors son inverse est également linéaire. Donc f linéaire et bijective est un isomorphisme. Et une deuxième chose peut-être pas dans ton cours (?), c'est que pour montrer qu'une application linéaire en dimension finie est bijective il suffit de démontrer l'existence d'un inverse à droite, ou à gauche.
Voilà ce qu'utilisait AD.
Est-ce plus clair ?

Pas seulement sûr de ça...

Il déduit $Ker(f)=0$ du fait que $f(0)=0$ (en passant par l'hypothèse $f(f(f(x)))-f^2(x)-f(x)=x$ (pour tout $x$, je pense))

Si j'étais mauvaise langue je dirais qu'il "semble" déduire

$f(x)=0$ entraine $x=0$

de

$x=0$ entraine $f(x)=0$

Mais, {\bf moi}, je ne suis pas méchant!

Bon alors attends, je lis {\bf en détails!!!} et réponse dans 10mn...

Une bonne poignée de minutes plus tard: {\bf tu as parfaitement raison}

Par contre, ça confirme ce que je lui disais, finalement il est victime de son "impressionnisme" langagier, car du coup, pourquoi n'a-t-il pas répondu aux moult questions faciles qui étaient sensées "échauffer" son muscle cranien (en particulier celles juste après l'aide fournie par AD?)

Bon, pour expier je {\bf rédige proprement moi-même SA solution}:

{\it Supposons que $f(x)=0$. Alors $f(fx))=_{remplacement\ de\ f(x)\ par\ 0}f(0)=_{valable\ pour\ toute\ application\ lineaire}0$. Et $f(f(f(x)))=f(0)=0$

Par ailleurs, $f(f(f(x)))-f(f(x))-f(x)=_{hypothese}x$ et donc $x=0-0-0=0$

le seul $x$ tel que $f(x)=0$ est donc $0$ et donc $Ker(f)=\{0\}$ (ici un détail, c'est chiant de faire les accolades à chaque fois, surtout en tex... )}

{\bf Bravo à toi lol!!!!} (mais tu as douté à plusieurs moments, et c'est dommage, car de dextérité et concision tu sembles doté...) Avec son pseudo, on peut pas dire "lol"

Snif... Fallait attendre!!! La méchanceté ne se mange pas tiède. Prends modèle sur moi (lis ya plein de posts) si tu veux imiter Columbo, là tu t'es laissé emporter par une certaine vanité je pense... {\bf Et en plus,} tu proposes une solution

Quand je dis que l'orgueil mène le monde!