Questions pour comprendre un groupe fini
Bonjour à tous,
Je reviens aux math, pour le plaisir, avec cette drôle de question :
Supposons que soit clairement défini un groupe $G$ d'ordre fini $n$, petit, disons inférieur ou égal à 31 ou à 60, voire tout au plus à 168 pour les courageux. Comme c'est un objet fini et pas trop gros, on pourrait penser, peut-être naïvement, pouvoir en acquérir une compréhension par l'étude exhaustive.
Quelles sont donc les questions à se poser puis auxquelles il faut trouver des réponses pour pouvoir prétendre qu'on a compris ce qu'il y a d'intéressant dans ce groupe, comment il marche, ce qu'il est ?
Bien sûr, il y a différents niveaux d'abstraction. Pour circonscrire la question je me place plutôt à un niveau élémentaire ; par exemple, je ne connais presque pas la théorie des représentations de groupes.
Voici une ébauche de liste de questions auxquelles j'ai pensées. Pouvez-vous la compléter, la critiquer ou la restructurer ? (... ou bien sûr critiquer la démarche elle-même)
\begin{enumerate}
\item Quelle est la liste des éléments, leurs ordres et leurs inverses ?
\item Quelle est la table du groupe ?
\item Est-il abélien ?
\item Quel est le treilli des sous-groupes ?
\item À quoi sont isomorphes chacun de ces sous-groupes ?
\item Quels sont les sous-groupes abéliens ?
\item Quel est son centre ?
\item Quelles sont les classes de conjugaisons ?
\item Quels sont les sous-groupes distingués ?
\item Quels sont les mophismes de groupes possibles de $G$ vers un autre groupe ?
\item Est-ce un groupe simple ?
\item Quels sont les sous-groupes distingués donnant des quotients abéliens ?
\item Quel est le groupe dérivé ?
\item Est-t-il résoluble ? (Cette question est abstraite pour moi...)
\item Quels « dévissages » en produits directs $G$ possède-t-il ?
\item Quels « dévissages » en produits semi-directs $G$ possède-t-il ?
\item Identifier, reconnaître ou décrire le groupe des automorphisme intérieurs.
\item Quels sont les $p$-sous-groupes de Sylow de $G$ ?
\item Identifier, reconnaître ou décrire le groupe des automorphismes de $G$.
\item Quelle est l'action de ce groupe sur le treilli des sous-groupes ?
\item Quels sont les sous-groupes caractéristiques ?
\item Quel sont les parties génératrices minimales ?
\item Quels sont les représentations de $G$ par générateurs et relations ?
\item Pour quelles valeurs de $k$ (minimales ?) $G$ est-il un sous-groupe du groupe des isommétries d'un espace euclidien de dimension $k$ (resp. du groupe des permuations d'un ensemble à $k$ éléments) ? Quelles en sont les implications géométriques ?
\end{enumerate}
[Modifié selon ton indication, ainsi que la numérotation des questions. AD]
Je reviens aux math, pour le plaisir, avec cette drôle de question :
Supposons que soit clairement défini un groupe $G$ d'ordre fini $n$, petit, disons inférieur ou égal à 31 ou à 60, voire tout au plus à 168 pour les courageux. Comme c'est un objet fini et pas trop gros, on pourrait penser, peut-être naïvement, pouvoir en acquérir une compréhension par l'étude exhaustive.
Quelles sont donc les questions à se poser puis auxquelles il faut trouver des réponses pour pouvoir prétendre qu'on a compris ce qu'il y a d'intéressant dans ce groupe, comment il marche, ce qu'il est ?
Bien sûr, il y a différents niveaux d'abstraction. Pour circonscrire la question je me place plutôt à un niveau élémentaire ; par exemple, je ne connais presque pas la théorie des représentations de groupes.
Voici une ébauche de liste de questions auxquelles j'ai pensées. Pouvez-vous la compléter, la critiquer ou la restructurer ? (... ou bien sûr critiquer la démarche elle-même)
\begin{enumerate}
\item Quelle est la liste des éléments, leurs ordres et leurs inverses ?
\item Quelle est la table du groupe ?
\item Est-il abélien ?
\item Quel est le treilli des sous-groupes ?
\item À quoi sont isomorphes chacun de ces sous-groupes ?
\item Quels sont les sous-groupes abéliens ?
\item Quel est son centre ?
\item Quelles sont les classes de conjugaisons ?
\item Quels sont les sous-groupes distingués ?
\item Quels sont les mophismes de groupes possibles de $G$ vers un autre groupe ?
\item Est-ce un groupe simple ?
\item Quels sont les sous-groupes distingués donnant des quotients abéliens ?
\item Quel est le groupe dérivé ?
\item Est-t-il résoluble ? (Cette question est abstraite pour moi...)
\item Quels « dévissages » en produits directs $G$ possède-t-il ?
\item Quels « dévissages » en produits semi-directs $G$ possède-t-il ?
\item Identifier, reconnaître ou décrire le groupe des automorphisme intérieurs.
\item Quels sont les $p$-sous-groupes de Sylow de $G$ ?
\item Identifier, reconnaître ou décrire le groupe des automorphismes de $G$.
\item Quelle est l'action de ce groupe sur le treilli des sous-groupes ?
\item Quels sont les sous-groupes caractéristiques ?
\item Quel sont les parties génératrices minimales ?
\item Quels sont les représentations de $G$ par générateurs et relations ?
\item Pour quelles valeurs de $k$ (minimales ?) $G$ est-il un sous-groupe du groupe des isommétries d'un espace euclidien de dimension $k$ (resp. du groupe des permuations d'un ensemble à $k$ éléments) ? Quelles en sont les implications géométriques ?
\end{enumerate}
[Modifié selon ton indication, ainsi que la numérotation des questions. AD]
Réponses
-
Je pense que tu as largement fait le tour, on pourrait rajouter "exhiber un morphisme injectif de $G$ vers $\mathfrak S_n$".
Tu n'as pas non plus posé la question "est-il cyclique"
pourtant si c'est le cas le boulot est simplifié !
Après, je pense que tout dépend du contexte, et de la "manière" dont tu connais le groupe. Donc je ne pense pas qu'il faille se poser à chaque fois TOUTES ces questions ! En particuler, faire une liste de ses éléments, exhiber sa table, je ne suis pas certain que ca soit utile.
Je pense que le plus important c'est :
- Les ss-groupes de Sylow, c'est un angle d'attaque extrêmement puisant en general.
- Le devissage en produit (semi)-direct : ça à mon sens c'est souvent le but ultime dans l'étude d'un groupe. Si tu y parviens, tu ramènes l'étude d'un groupe d'un certain ordre à l'étude de 2 groupes mais d'ordre sensiblement plus faible. Le but étant évidemment de le décomposer en groupes "connus". -
Tu peux aussi essayer de classifier toutes les représentations linéaires de ces groupes fini ou tous leurs caractères.
-
Toto.le.zero Écrivait:
> Tu peux aussi essayer de classifier toutes les
> représentations linéaires de ces groupes fini ou
> tous leurs caractères.
ca c'est deja plus de boulot :-) -
c'est quoiun dévissa&ge de groupe?
-
un "devissage" c'est le fait d'ecrire un groupe comme produit (semi-)direct de groupes. le but etant d'ecrire $G$ comme un produit de groupes simples.
-
La lecture du point 4 m'a suggere un exercice que je ne connaissais pas.
Soient G et H deux groupes finis. On suppose que, pour tout groupe fini X, Hom(G,X) et Hom(H,X) ont meme nombre d'elements (Hom designant les homomorphismes de groupes). Montrer que G et H sont isomorphes (ou infirmer cette assertion mais c'est peu probable).
Meme question dans l'autre sens (i.e. Hom(X,G) et Hom(X,H) ont meme nombre d'elements).
Autre question: ont suppose que card(Hom(G,X)) <= card(Hom(H,X)) pour tout X. A-t-on alors que G est isomorphe a un quotient de H ?
Meme question en changeant le sens des Hom (avec sous-groupe a la place de quotient)
Tout cela est vrai pour les groupes abeliens (assez facile a voir). Je n'y ai pas reflechi plus que 5 minutes, mais je doute que le cas general soit trop complique.
a+
AG.
ps: comme souvent, c'est un exercice parfaitement inutile a priori...
pps: on peut imaginer d'autres contextes, en remplacant par exemple 'groupe fini' par 'anneau fini'... -
Bonjour,
Merci pour vos réponses jobherzt & Toto.le.zero.
Pultôt que « dévissage », j'aurai du dire décomposition. -
Bonjour,
jmb: ce que tu énumères correspond en gros à ce que Perrin-Ortiz appellent "Botanique" d'un groupe.
Par exemple , voir "Botanique" de $D_n$, exercice l.12du Ortiz.
Dans ta liste, manquent entre autre , il me semble :
--> les centralisateurs des éléments de G
--> les classes de conjugaison des sous-groupes de G
--> les normalisateurs des des sous-groupes de G
--> pour ta question 12: "Quels sont les sous-groupes distingués donnant des quotients abéliens ?", ajouter: quels sont les groupes-quotients correspondants?
Va voir dans Perrin-Ortiz, de plus , ces notions sont hiérarchisées et classées en 1, 2, 3,..., a), b), c),...
Conserver le terme « dévissage » , qui est "officiel".
Treillis= graphe de Cayley ?
Tu as aussi: les suites de composition, puis les suites de Jordan-Hölder ,reliées à la résolution des groupes.
[ Dit-on résolubilité, résolution, résolitude ? merci. ]
Bonne journée. -
Bonjour,
Merci bs pour ces points supplémentaires. Je vais regarder de plus près l'Ortiz car je croyais qu'il s'attardait plus à la classifisation des groupes d'un ordre donné qu'à l'étude exhuastive des propriétés des petits groupes.
Pour ce qui est du théorème de Jordan-Hölder, il faudra que j'étudie encore un peu...
À propos de ce mot, « treilli », je suis toujours embêté. Je l'emploie dans le sens suivant : ensemble ordonné telle que toute famille d'élément possède un plus grand et un plus petit élément. Si bien que l'ensemble des sous-groupes d'un groupe muni de l'inclusion en forme bien un dans ce sens-là. Concrètement je pense par exemple à la figure que j'ai posté dans le deuxième message de cette conversation (il y a là une conjecture que j'avais faite il y a un bout de temps et pour laquelle je n'ai pas avancé ; je ne resiste pas au plaisir de la relancer !)
Cependant ce mot surprend souvent. Est-ce que je l'emploie correctement ?
En particulier, ce n'est pas aux graphes de Cayley que je pense ; j'ai découvert cette notion sur Internet et je trouve ça plutôt élégant mais je ne sais pas quelles en sont les applications... Je n'ai pas bien compris en quoi ces graphes permettent de mieux comprendre un groupe donné. -
Disons qu'un graphe de Cayley c'est une table de multiplication du groupe en beaucoup plus clair, et qui permet de faire apparaitre assez clairement des relations entre les éléments.
>car je croyais qu'il s'attardait plus à la classification des groupes d'un ordre
>donné qu'à l'étude exhaustive des propriétés des petits groupes.
a priori, les outils employé dans ces 2 cas sont sensiblement les mêmes ! -
En fait ce que j'ai mal compris, c'est que cette "table de multiplication" n'est pas absolue pour le groupe ; elle dépend d'un certaine partie $S$ (qu'on doit choisir génératrice du groupe pour que le graphe soit connexe). Mais si on choisit une autre partie génératrice $S$, cela donne a priori un autre graphe...
Peut-on exploiter ces graphes pour découvrir des propriétés du groupes ? -
Oui, on peut... Je ne suis pas spécialiste, mais j'ai déjà vu des démonstrations utilisant le graphe de Cayley, notamment quand on connait un groupe par générateur et relations.
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