Intégration
Bonjour voila mon exércice:
1) f est continue sur le segment S. Montrer que l'intégrale de la valeur absolue de f sur S est égale à 0 si et seulement si f est constante nulle sur S
2)Pour f application continue sur [a,b] dans R.Montrer que l'intégrale de la valeur absolue de f sur [a,b] est égale à la valeur absolue de l'intégrale de f sur [a,b] si et seulement si f est de signe constant sur [a;b]
Pour cette question j'ai raisonné par l'absurde en prennant f négatif sur [a,c] et positif sur [c,b] en calculant j'obtient :
l'intégrale de la valeur absolue de f sur [a,b] est supérieure à la valeur absolue de l'intégrale de f sur [a,b].
1) f est continue sur le segment S. Montrer que l'intégrale de la valeur absolue de f sur S est égale à 0 si et seulement si f est constante nulle sur S
2)Pour f application continue sur [a,b] dans R.Montrer que l'intégrale de la valeur absolue de f sur [a,b] est égale à la valeur absolue de l'intégrale de f sur [a,b] si et seulement si f est de signe constant sur [a;b]
Pour cette question j'ai raisonné par l'absurde en prennant f négatif sur [a,c] et positif sur [c,b] en calculant j'obtient :
l'intégrale de la valeur absolue de f sur [a,b] est supérieure à la valeur absolue de l'intégrale de f sur [a,b].
Réponses
-
donc puisque j'ai l'intégrale de la valeur absolue de f sur [a,b] qui est strictment supérieure à la valeur absolue de l'intégrale de f sur [a,b],j'en est déduit qu'on obtient l'égalité si est seulemtn si f est de signe constant mais je n'arrive pas é répondre à la 1er question
-
pour le 1), seule la condition nécessaire est à démontrer. Il faut raisonner par l'absurde. Voici en gros le schéma du raisonnement : $|f|$ étant continue positive, pour montrer qu'elle est identiquement nulle sur $S$, on suppose qu'il existe un point $x_0$ dans $S$ tel que $|f(x_0)|>0$. Pour m>0 fixé, par continuité, on trouve alors un intervalle de centre $x_0$ et de longueur $\ell >0$ sur lequel $|f|>m$ et donc l'intégrale de $|f|$ sur $S$ est supérieure à $\ell \times m>0$, donc strictement positive, d'où contradiction.
-
oui merci j'ai saisi le raisonnement,et pour l'autre question ma réponse est donc correcte?
-
La réponse à la seconde question me paraît incorrecte. Etre "négatif sur [a,c] et positif sur [c,b]" n'est pas la négation de "être de signe constant" !
-
pour le 2), il faut distinguer deux cas :
\begin{enumerate}
\item si $\int_a^bf\geq 0$, alors on applique le résultat du 1) à $|f|-f$ qui est continue positive :
$\int_a^bf=\int_a^b|f|$ s'écrit $\int_a^b(|f|-f)=0$ ce qui, d'après 1), équivaut à $|f|-f=0$, ie $f\geq 0$.
\item si $\int_a^bf\leq 0$, on applique ce qui précède à $-f$ au lieu de $f$.
\end{enumerate} -
Bonjour ,
On considère les fonctions $f^{+}$ et $f^{-}$ définies sur $[a;b]$ respectivement par :
$f^{+}(t)=max(f(t);0)$
$f^{-}(t)=min(f(t);0)$
Il est facile de vérifier (en utilisant la continuité de f) que $f^{+}$ et $f^{-}$ sont continues.
$f^{+}(t)+f^{-}(t)=f(t)$ , $\forall t \in [a;b]$
Alors :
$\int_{a}^{b}f(t)dt = \int_{a}^{b}f^{+}(t)dt + \int_{a}^{b}f^{-}(t)dt=I_{+}+I_{-}$
Et :
$I_{+} >= 0$ , $I_{-} <= 0$
Il est clair que :
$|I_{+}|=\int_{a}^{b}f^{+}(t)dt=\int_{a}^{b}|f^{+}(t)|dt$
$|I_{-}|=\int_{a}^{b}|f^{-}(t)|dt$
L'inégalité :
$|I_{+}+I_{-}| <= |I_{+}| + |I_{-}|$ sera alors égalité si et seulement si $I_{-}=0$ ou $I_{+}=0$ , c'est à dire d'après 1) , si et seulement si f est partout positive ou partout négative -
Petite variante (naturelle dans le cadre de Lebesgue, mais utilisable dans d'autres cadres).
Je note $f_+$ et $f_-$ les parties positives et négatives de $f$ ($f_+=\max(f,0)$, $f_-=\max(-f,0)$). On a $f=f_+-f_-$ et $|f|=f_++f_-$. Ainsi :
$$
\int |f| = \int f_++\int f_- \hbox{ et } \int f = \int f_+-\int f_-.
$$
On conclut alors facilement (quoique peut-être un peu moins directement qu'avec ce que proposait Aleg). -
Grillé...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 63 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 313 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres