Intégration

pour le 1), seule la condition nécessaire est à démontrer. Il faut raisonner par l'absurde. Voici en gros le schéma du raisonnement : $|f|$ étant continue positive, pour montrer qu'elle est identiquement nulle sur $S$, on suppose qu'il existe un point $x_0$ dans $S$ tel que $|f(x_0)|>0$. Pour m>0 fixé, par continuité, on trouve alors un intervalle de centre $x_0$ et de longueur $\ell >0$ sur lequel $|f|>m$ et donc l'intégrale de $|f|$ sur $S$ est supérieure à $\ell \times m>0$, donc strictement positive, d'où contradiction.

La réponse à la seconde question me paraît incorrecte. Etre "négatif sur [a,c] et positif sur [c,b]" n'est pas la négation de "être de signe constant" !

Bonjour ,

On considère les fonctions $f^{+}$ et $f^{-}$ définies sur $[a;b]$ respectivement par :

$f^{+}(t)=max(f(t);0)$

$f^{-}(t)=min(f(t);0)$

Il est facile de vérifier (en utilisant la continuité de f) que $f^{+}$ et $f^{-}$ sont continues.

$f^{+}(t)+f^{-}(t)=f(t)$ , $\forall t \in [a;b]$

Alors :

$\int_{a}^{b}f(t)dt = \int_{a}^{b}f^{+}(t)dt + \int_{a}^{b}f^{-}(t)dt=I_{+}+I_{-}$

Et :

$I_{+} >= 0$ , $I_{-} <= 0$

Il est clair que :

$|I_{+}|=\int_{a}^{b}f^{+}(t)dt=\int_{a}^{b}|f^{+}(t)|dt$

$|I_{-}|=\int_{a}^{b}|f^{-}(t)|dt$

L'inégalité :

$|I_{+}+I_{-}| <= |I_{+}| + |I_{-}|$ sera alors égalité si et seulement si $I_{-}=0$ ou $I_{+}=0$ , c'est à dire d'après 1) , si et seulement si f est partout positive ou partout négative

Grillé...