forme linéaire

cynthia1
cynthia1
dans Algèbre
Bonsoir, je bloque sur une correction du Gourdon :
Soit $f$ une forme linéaire sur $M_n(\K)$
On veut montrer qu'il existe une matrice $A$ tel que $f(X)=Trace(AX)$ pour toute matrice $X$


Il commence par définir , pour toute matrice $A$, la forme linéaire $f_A$ qui associe à toute matrice $X$ la trace de $AX$ puis $\phi$ l'application linéaire de l'ensemble des matrices vers son dual qui à $A$ associe $f_A$

Et il dit qu'il va montrer que $\phi$ est bijective et que ca implique le résultat mais je ne vois pas pourquoi?

Une fois qu'on a montré la bijection, j'ai essayé de traduire ce que ca voulait dire et j'arrive à :
pour toute $f_A$ forme linéaire sur $M_n(\K)$, il existe une unique matrice $A$ tel que $\phi(A)(X)=Tr(AX)$ pour toute matice $X$
Donc on aurait que l'application qui à $X$ associe $Trace(AX)$ est en fait une forme linéaire (en plus c'est évident) mais pour moi, l'énoncé voulait cette propriété dans l'autres sens

Réponses

  • Reï
    Reï
    Bonsoir Cynthia,

    Tout repose en fait sur la surjectivité de $\phi$ ; en effet, dire que $\phi$ est surjective revient exactement à dire que pour toute forme linéaire $f$ de $M_{n}(K)$, il existe une matrice $A$ de $M_{n}(K)$ telle que : $f=f_{A}$, ce que tu veux montrer.
    Comme $\phi$ est même bijective, on obtient non seulement l'existence d'une telle matrice, mais aussi l'unicité (liée à l'injectivité de $\phi$).

    Amicalement.
    Olivier.
  • cynthia1
    cynthia1
    Merci de ta réponse, en fait j'avais compris que ce qu'il nous fallait c'était la surjectivité (d'ailleurs pour montrer la bijectivité, on montre l'injectivité et l'égalité des dimensions mais pas la surjectivité directement évidemment)

    Je te cite : "pour toute forme linéaire $f$ de $M_n(\K)$, il existe une matrice $A$ de $M_n(\K)$ telle que $f=f_A$"

    En fait je vois bien que c'est exactement ça qu'on veut montrer, mais j'ai l'impression que la bijectivité de $\phi$ implique qu'à chaque forme linéaire $f_A$ (donc d'un type particulier puisqu'on l'a définie d'une certaine facon au début), on sait trouver une matrice $A$ telle que $\phi(A)=f_A$ mais je ne comprends pas pourquoi ça implique le résultat voulu puisque j'ai l'impression qu'on n'a récupéré des informations uniquement sur les formes linéaires particulières que sont les $f_A$
  • le maudit
    le maudit
    Ecris tout simplement « $\phi$ est surjective » avec des quantificateurs...
  • iboo
    iboo
    salut
    $ \phi$ est bien une application qui a A associe fA mais tu te trompes d ensemble d arrivée
    car $ \phi$ :$ M_n(\mathbb{K})$->dual de $ M_n(\mathbb{K})$ et non seulement l ensemble de fA (meme si cet ensemble est effectivement le dual de $ M_n(\mathbb{K})$*)
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