forme linéaire
Bonsoir, je bloque sur une correction du Gourdon :
Soit $f$ une forme linéaire sur $M_n(\K)$
On veut montrer qu'il existe une matrice $A$ tel que $f(X)=Trace(AX)$ pour toute matrice $X$
Il commence par définir , pour toute matrice $A$, la forme linéaire $f_A$ qui associe à toute matrice $X$ la trace de $AX$ puis $\phi$ l'application linéaire de l'ensemble des matrices vers son dual qui à $A$ associe $f_A$
Et il dit qu'il va montrer que $\phi$ est bijective et que ca implique le résultat mais je ne vois pas pourquoi?
Une fois qu'on a montré la bijection, j'ai essayé de traduire ce que ca voulait dire et j'arrive à :
pour toute $f_A$ forme linéaire sur $M_n(\K)$, il existe une unique matrice $A$ tel que $\phi(A)(X)=Tr(AX)$ pour toute matice $X$
Donc on aurait que l'application qui à $X$ associe $Trace(AX)$ est en fait une forme linéaire (en plus c'est évident) mais pour moi, l'énoncé voulait cette propriété dans l'autres sens
Soit $f$ une forme linéaire sur $M_n(\K)$
On veut montrer qu'il existe une matrice $A$ tel que $f(X)=Trace(AX)$ pour toute matrice $X$
Il commence par définir , pour toute matrice $A$, la forme linéaire $f_A$ qui associe à toute matrice $X$ la trace de $AX$ puis $\phi$ l'application linéaire de l'ensemble des matrices vers son dual qui à $A$ associe $f_A$
Et il dit qu'il va montrer que $\phi$ est bijective et que ca implique le résultat mais je ne vois pas pourquoi?
Une fois qu'on a montré la bijection, j'ai essayé de traduire ce que ca voulait dire et j'arrive à :
pour toute $f_A$ forme linéaire sur $M_n(\K)$, il existe une unique matrice $A$ tel que $\phi(A)(X)=Tr(AX)$ pour toute matice $X$
Donc on aurait que l'application qui à $X$ associe $Trace(AX)$ est en fait une forme linéaire (en plus c'est évident) mais pour moi, l'énoncé voulait cette propriété dans l'autres sens
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Réponses
Tout repose en fait sur la surjectivité de $\phi$ ; en effet, dire que $\phi$ est surjective revient exactement à dire que pour toute forme linéaire $f$ de $M_{n}(K)$, il existe une matrice $A$ de $M_{n}(K)$ telle que : $f=f_{A}$, ce que tu veux montrer.
Comme $\phi$ est même bijective, on obtient non seulement l'existence d'une telle matrice, mais aussi l'unicité (liée à l'injectivité de $\phi$).
Amicalement.
Olivier.
Je te cite : "pour toute forme linéaire $f$ de $M_n(\K)$, il existe une matrice $A$ de $M_n(\K)$ telle que $f=f_A$"
En fait je vois bien que c'est exactement ça qu'on veut montrer, mais j'ai l'impression que la bijectivité de $\phi$ implique qu'à chaque forme linéaire $f_A$ (donc d'un type particulier puisqu'on l'a définie d'une certaine facon au début), on sait trouver une matrice $A$ telle que $\phi(A)=f_A$ mais je ne comprends pas pourquoi ça implique le résultat voulu puisque j'ai l'impression qu'on n'a récupéré des informations uniquement sur les formes linéaires particulières que sont les $f_A$
$ \phi$ est bien une application qui a A associe fA mais tu te trompes d ensemble d arrivée
car $ \phi$ :$ M_n(\mathbb{K})$->dual de $ M_n(\mathbb{K})$ et non seulement l ensemble de fA (meme si cet ensemble est effectivement le dual de $ M_n(\mathbb{K})$*)