Intégration

hisoka974 · March 2007

Bonjour voila un exercice que je n'arrive pas à faire :

Soient f et g applications continues de [0,1] dans R telles que fxg supérieure ou égale à 1

Montrer que :
(Intégrale de f sur [0,1])x(Intégrale de g sur [0,1]) est supérieure ou égale à 1

Longjing · March 2007

Bonjour,

ça sent Cauchy Schwartz, non ?

(Je me suis emballé, il y a une précaution sur les signes de $f$ et $g$ à apporter : $f$ et $g$ sont du même signe))

hisoka974 · March 2007

avec cauchy j'obtiens :

(Intégrale de f² sur [0,1])x(Intégrale de g² sur [0,1]) est supérieure ou égale à 1

Longjing · March 2007

Oui c'est pour ça qu'il faut, avec précaution, se soucier du signe de $f$e t de $g$.
Regarde ce que donne CS avec, non pas $f$ et $g$, mais avec $\sqrt{\vert f \vert}$ et $\sqrt{\vert g \vert}$.

Tu obtiens une inégalité, qui n'est pas celle souhaitée.

Mais $f$ et $g$ ne s'annulent pas et sont toujours de même signe....

hisoka974 · March 2007

on obtient :
(Intégrale de valeur absolue de f sur [0,1])x(Intégrale de valeur absolue de g sur [0,1]) est supérieure ou égale à 1

jean · March 2007

Mais peut-être aurait-on, du fait que $|fg|\ge 1$, $$\int_0^1|f|\:\int_0^1|g|=\int_0^1f\:\int_0^1g$$

hisoka974 · March 2007

pourquoi a-ton cette égalité?

Garfield · March 2007

Salut,

$1 \leq fg$ implique que f et g sont de même signe et ne s'annulent pas avec ça tu peux conclure ...

Longjing · March 2007

Parce que $f$ et $g$ sont de même signe (n'oublions pas que $fg\geq1$) Mais cela reste à démontrer proprement.

Ensuite deux cas : si $f$ et $g$ toutes deux positives, bon, ben, ça marche

Sinon $\vert f \vert = -f$ et de même avec $g$ ; et on sort les deux moins des intégrales.

(rhaaaaaa, mon message qui arrive après la cavalerie)

hisoka974 · March 2007

ok merci:)-D

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