Intégrale

Salut,

que penses tu de la fonction $g(x) = \displaystyle \int_0^x (f(t) - t) dt$ ?

...

Re salut,

je ne sais pas vraiment t'expliquer le pourquoi du comment j'ai posé cette foction l'idée en gros c'est puisque tu veux montrer qu'il existe c tel que f(c)-c=0, ça veut dire que tu veux montrer que la fonction x->f(x)-x s'annule.

Comme les informations de ton exercice ne donne rien sur cette fonction on tente d'autres choses : on aurait pu essayer de dériver et de voir si c'était monotone puis trouver une valeur positive et une négative mais on a aucune information sur la dérivabilité ni sur les valeurs de f donc on abandonne l'idée de dérivation.

Comme on a que des infos sur l'intégrale on se dit qu'on va considérer x->f(x)-x comme la dérivée d'une autre fonction (en l'occurence g) et là on connait des moyens pour montrer qu'une dérivée s'annule.

Cela dit avec l'expérience et cet exo étant tellement classique on voit tout de suite à la formulation de l'énoncé qu'il s'agit du théorème de Rolle et on réfléchit plus trop pour poser la fonction g donc c'est un peu dur à dire à posteriori...

Il me semble qu'il existe une solution un peu moins 'parachute', ne faisant pas appel au théorème de Rolle : tu fais un dessin sur le segment $[0,1]$ de la droite $ y = x $.

Tu veux que l'aire sous la courbe de $f$ soit égale à l'aire sous la droite, donc forcément, la courbe ne pourra pas être tout le temps au dessus de la droite (l'aire serait trop grande) ni tout le temps au dessous de la droite (l'aire serait trop petite). Comme la dite courbe est continue, elle va forcément devoir couper la droite.

Plus formellement : $\int_0^1 t dt = 1/2$
\begin{center} Si $\forall t \in [0,1]$, $f(t) > t$ alors $\int_0^1 f(t) dt > \int_0^1 t dt = 1/2$ \end{center}
Donc $\exists t_1 \in [0,1]$ tel que $f(t_1) \leqslant t_1$.

De même tu montreras qu'il existe $t_2 \in [0,1]$ tel que $f(t_2) \geqslant t_2$.
Tu considères ensuite la fonction $t \longmapsto f(t)-t$.
Elle est continue sur $[0,1]$, le théorème des valeurs intermédiaires te donne l'existence de $c$ compris entre $t_1$ et $t_2$ (donc entre 0 et $1$) tel que $f(c)-c = 0$ soit $f(c)=c$.

Parfois la tactique du dessin fait mal à la tête, mais ici je trouve qu'elle aide bien.

[Merci à Gilles Benson pour la compilation du LaTeX. AD]