Fonction elliptique de Weierstrass

Zantac · March 2007

Bonjour,

soit $\rho$ la fonction elliptique de Weierstrass. Son développement en série de Laurent nous prouve qu'elle n'a qu'un seul pôle, à savoir $0$, qui est pôle d'ordre $2$ et de résidu $1$.

Or, je lis dans le Silverman (The Arithmetic of Elliptic Curves), p. 151, que si $f$ est une fonction elliptique, on a :

$$\sum_{w \in \C/L}^{}{res_w(f)} = 0$$, res_w(f) désignant le résidu de $f$ en $w$.

Cela me semble manifestement faux dans cet exemple ($1=0$...).

Qqn pourrait-il m'aider svp ?

De plus, je me demande, la fonction $\rho$ a-t-elle des zéros ? D'après mon cours perso, la formule ci-dessus est vraie à condition de compter les zéros ET les pôles, d'où je déduirais que $\rho$ a deux zéros simples, ou un zéro double. Mais enfin, une telle erreur dans le Silverman, je n'ose y croire...

Merci de m'éclairer, je galère...

Zantac · March 2007

Ma dernière phrase ne veut rien dire.

Je voulais dire que dans mon cours on écrit que la somme des ordres est nulle dans le parallélotope de base, en prenant négatifs les ordres des poles et positifs ceux des zéros. Cela veut bien dire que la fonction $\rho$ aurait un zéro double, ou alors deux zéros simples -dans la parallélotope fondamental semi-ouvert-.

Mais je ne comprends pas la formule du Silverman....

Zantac · March 2007

En fait j'ai dit n'importe quoi, le résidu est bien nul...

Par contre, le message que j'ai posté plus bas, ça je ne comprends pas, si vous pouviez y jeter un coup d'oeil (c'est le même thème), c'est juste une notation que je comprends pas.

gilles benson · March 2007

bonjour, je ne connais pas la fonction $\rho$ mais je connais la fonction $\wp$.
S'agirait-il des mêmes?

gilles benson · March 2007

je confirme que $\wp$ admet un pôle double à l'origine vu sa définition:

$$\wp (z) = \frac{1}{z^2}+\sum_{\omega \in \L '} \frac{1}{{(z - \omega)}^2} - \frac{1}{{\omega}^2}$$

si $\L '$ est le réseau privé de l'origine.

Zantac · March 2007

En fait il s'agit bien sûr de la fonction que je nomme $\rho$ car je connais pas le Latex pour ton symbole

Alors, ladite fonction admet-elle un zéro double ou deux zéros simples dans le parallélotope semi-fermé fondamental ? Ou est-ce que cela dépend du parallélotope choisi ?

gilles benson · March 2007

bonjour, le symbole est \verb*=\wp= (w pour Weierstrass...).
Pour les zéros de la fonction $\wp$, il n'y a rien dans la littérature et sur la toile, la référence:
\lien{http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassEllipticFunction.html}
donne une entrée erronée mais avec toutefois une référence à un article de recherche
de Don Zagier...
Tu peux toujours poser la question à ton professeur.

JJ · March 2007

Bonjour,

Une des difficultés dans les recherches bibliographiques à ce sujet vient de la multiplicité des symboles utilisés par les différents auteurs et des variantes de définitions parmi lesquelles il n'est pas toujours facile de s'y retrouver.
Je trouve que l'article de T.H.Southard fait une présentation synthétique intéressante, mais succinte (pôles et multiplicité), avec à la fin une bibliographie assez fournie :
"Weierstrass Elliptic and Related Functions", inclus dans :
M.Abramowitz, I.A.Stegun, "Handbook of Mathematical Functions", chapitre 18, pp.627-683, Dover Publications, N.-Y., 1972
En tout cas, cet article est plus fourni que celui qui figure dans :
E.W.Weisstein,"CRC Concise Encyclopedia of Mathematics",pp.1930-1933, Chapman & Hall, N.-Y., 1999

JJ · March 2007

Au fait, pour répondre à la question sur les pôles, je suis d'accord avec ce qu'a indiqué gilles benson : un pôle double dans le FPP, pour z=0.

gilles benson · March 2007

bonjour, pour répondre sur les zéros de $\wp$, un peu de lecture donne:

l'équation $\wp(z)=c \text{ avec } c \in \C$ ne peut admettre qu'une racine simple ou double car $\wp$ est elliptique d'ordre 2.
Si la racine était double, elle annulerait $\wp '$ et cette racine serait $\frac{\omega_i}{2}$ avec $ \omega_i$ sommets non nuls du parallèlogramme fondamental; donc sauf si $c=e_i= \wp(\frac{\omega_i}{2})$, cette équation admet une racine simple en particulier si $c=0$ et les racines de $\wp(z)=0$ sont simples et opposées (par parité).