"Inverse" d'une matrice rectangulaire
dans Algèbre
Bonjour,
Je travaille avec des matrices rectangulaires $\Phi$ et je souhaiterais savoir s'il existe un moyen d'obtenir une matrice $K$ telle que:
$\Phi^T K \Phi= I$ ou I est la matrice identité.
Merci.
Alain
Je travaille avec des matrices rectangulaires $\Phi$ et je souhaiterais savoir s'il existe un moyen d'obtenir une matrice $K$ telle que:
$\Phi^T K \Phi= I$ ou I est la matrice identité.
Merci.
Alain
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Réponses
je pense que ca doit marcher si $\phi$ est de rang maximal. Apres il y a peut-etre moyen de considérer K comme la matrice associée à une forme bilinéaire. Ensuite on peut voir le produit par $\phi$ et sa transposée comme un changement, non pas de base, mais d'espace, en ce sens que si $\phi$ est de la forme p lignes, q colonnes, alors on passe de $\R^p$ à $\R^q$ (si bien sur $\phi$ est bien de rang max). Ainsi cela correspondrait à transformer une forme bilinéaire K sur $\R^p$ en forme linéaire sur $\R^q$, et finalement à se poser la question : une fois le changement d'espaces fixé, existe-t-il une forme bilinéaire sur $\R^p$ donnant l'identité sur $\R^q$.
Mais bon tout cela est tres "au feeling" et n'a pas forcément de chances d'aboutir, mais à premiere vue, apres moins de 3 min de réflexion, c'est comme ça que je partirais.
Bonnes chances
t-mouss
J'utilise en effet les matrices $\Phi$ dans le cadre de changement d'espace vectoriel en mécanique.
Si je définis un changement d'espace par $y=\Phi x$, je cherche à définir $\Psi$ telle que $x=\Psi y$ ce qui revient à chercher la matrice $K$ décrite précédemment avec $\Psi=\Phi^T K$...