Matrices symétriques définies positives

On se place dans $S_n(\R)$. Pour tout $i$ entre $1$ et $n$ (inclus), on note $\phi$ l'application qui à une matrice $A$ de $S_n(\R)$ associe le déterminant de la matrice $i\times i$ composée des $i$ premières lignes et des $i$ premières colonnes de $A$.
Alors l'ensemble des matrices symétriques définies positives est égal à l'intersection de $\phi_i^{-1} (]0,+\infty[)$ (exercice). C'est donc un ouvert.

2ème méthode : utiliser la caractérisation : $A$ est définie positive si et seulement si la forme quadratique associée est strictement positive sur la sphère unité de $\R^n$, et utiliser la compacité de cette sphère.

Les méthodes proposées par Guégo sont plus élégantes, la mienne paraît un peu rustique en comparaison, mais ça fait du bien de mettre les mains dans le cambouis...