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Anneau non noetherien/ artinien

Envoyé par naos 
Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Bonsoir,

Cette semaine, un ami et moi nous sommes posé une question : existe-t-il des anneaux non-noetherien ? Question apparamment banale, mais dont la réponse n'est manifestement pas simple.

On pense en avoir trouvé un : $\Z[X_1, \cdots , X_n , \cdots ]$. Il est clair que la suite d'idéaux engendrés successivements par $X_1$, $X_1$ et $X_2$, etc... est croissante et non stationnaire.
Mais le problème est en fait ailleurs : cet ensemble est-il défini ? A-t-il un sens ? Je veux dire, est-il possible d'ajouter une infinité (même dénombrables) d'indéterminées sans risques ?

Pour ce qui est d'un anneau artinien, c'est la question qu'on s'est naturellement posée après celle-ci. L'ensemble ci-dessus convient-il ? C'est à dire peut-on considérer les idéaux engendrés par toutes les indéterminées sauf $X_1$, puis sauf $X_1$ et $X_2$, etc... ?

Merci

Cordialement
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
{\it Mais le problème est en fait ailleurs : cet ensemble est-il défini ? A-t-il un sens ? Je veux dire, est-il possible d'ajouter une infinité (même dénombrables) d'indéterminées sans risques ?}
Oui.

{\it Pour ce qui est d'un anneau artinien, c'est la question qu'on s'est naturellement posée après celle-ci. L'ensemble ci-dessus convient-il ? C'est à dire peut-on considérer les idéaux engendrés par toutes les indéterminées sauf $ X_1$, puis sauf $ X_1$ et $ X_2$, etc... ?}

Ca marche, mais ne peux-tu pas plus simplement considérer, dans $K[X]$, la suite décroissante des idéaux engendrés par les $X^n$ ?

[La case LaTeX. :) AD]
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
D'ailleurs, quels seraient les "risques" ?

Plus précisément, quelle est ta définition de $A[X]$ (repectivement de $A[X,Y]$) ?

J'en ai deux : la première est la propriété universelle de l'anneau des polynômes, qui peut aussi bien s'écrire avec 1 ou 2 indéterminées, ou avec un ensemble quelconque d'indéterminées (bon, il est vrai qu'après il faut prouver que ça existe). La seconde est de voir $A[X]$ (respectivement $A[X,Y]$) comme le quotient convenable de l'anneau libre engendré par les élements de $A$ et $X$ (repectivement les élements de $A$, $X$ et $Y$) et là encore, cette définition "passe" à un ensemble quelconque d'indéterminées.

Si l'anneau est commutatif, on peut aussi définir $A[X]$ par la bonne structure d'anneau sur $A^{(\N)}$ (suites presques nulles à valeur dans $A$), et là encore, bien que ne l'ayant pas fait, j'imagine qu'on peut procéder de même pour $A[X_i]_{i \in I}$, en définissant la bonne structure d'anneau sur $A^{(\N^I)}$. Mais, sans mentionner le manque de généralité, c'est moins clair vu comme ça, je trouve.
ryo
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Je sais que tu es en prépa dons que tu n'es pas sensé connaitre les fonctions holomorphes mais je vais quand meme dire que l'anneau des fonctions holomorphes sur $\C$ tout entier n'est pas noetherien (ca n'utilise pas vraiment l'analyse complexe):

On considère les idéaux $I_n=\{f \in H(\C)|f(z)=0 \forall z \in \N-\{0,1,..,n\}\}$

On a une suite croissante d'idéaux
Elle est strictement croissante car $$f_n(z)=\frac{\sin(z\pi)}{z(z-1)..(z-n)}$$ est holomorphe $\sin(z \pi)$ a un zéro simple donc $f_n \in I_n-I_{n-1}$ car les zéros du sinus sont compensés par ceux du dénominateur
Ce qui prouve que $H(\C)$ n'est pas noetherien
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
L'anneau $\mathbb{Z}$ n'est pas artinien, car les idéaux $(2^n),n\geq 1$ forment une chaine décroissante infinie.

L'anneau $A:=\mathbb{C}[X_1,X_2\ldots,]$ est effectivement non noethérien car l'idéal engendré par tous les $X_i$ n'est pas de type fini (exercice facile).

Si tu n'aimes pas les anneaux de polynômes à une infinité d'interminées, on peut par exemple définir $A$ comme
$$A:=\bigcup_{n\geq 1}\mathbb{C}[X_1,\ldots,X_n].$$

On vérifie que c'est bien un anneau.
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Un autre anneau ni noethérien, ni artinien : l'anneau $(\mathcal {A},+,\ast)$ des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et du produit de convolution de Dirichlet (voir mon livre -- hé oui, encore, désolé ! -- page 114).

Borde.
bs
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Mais, Olivier, il n'y a pas à être désolé...

Par contre , tout anneau (commutatif) artinien est noetherien.

Bon dimanche.
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Je disais ça, car je me trouve un peu lourd, côté pub pour ce bouquin, parfois !

Mais c'est vrai qu'il contient un certain nombre de réponses à des questions qui reviennent souvent sur le forum !

Bon dimanche à toi aussi,

Borde.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze années et a été effectuée par borde.
BéBé
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Du point de vue géométrique, un anneau artinien, c'est un "point", il est donc très facile de donner des exemples d'anneau non artiniens : $k[X]$, $k[X_1, \ldots, X_n]$, $k\{X\}$, $k\{X_1, \ldots, X_n\}$, $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, évidemment n'importe quel anneau non noethérien puisque artinien implique noethérien.

Le résultat, qui est presque une définition, c'est :

Th : Un anneau est artinien si et seulement si il est noethérien et de dimension 0.

A l'inverse, il est très facile de donner des exemples d'anneaux artiniens : $k[X]/(X^n)$, $k[X_1, \ldots, X_n]/(X_1, \ldots, X_n)$, plus généralement le quotient d'un anneau de polynômes par n'importe quel idéal $I$ tel que ce quotient soit un ev de dimension finie sur $k$...

Sinon, je trouve que c'est un peu abusé de citer le livre de Borde avec un exemple tordu et alambiqué pour une question si simple et où en gros ce qui est demandé c'est des exemples et contre-exemple triviaux et classiques, mais bon...

Et à la limite, donner l'exemple, mais pas rajouter la page du livre...
Fadalbala
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
"Par contre , tout anneau (commutatif) artinien est noetherien."

Exact, c'aura ete pas mal rabache sur ce forum drinking smiley
La preuve figure dans l'excellent "commutative ring theory" de H.Matsumura. Je crois qu'il attirbue ce theoreme a Akizuki.
Fadalbala
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Un peu plus subtil: si $A$ est noetherien et local (i.e avec un unique ideal maximal) alors le separe-complete $\widehat{A}$ le long de cet ideal maximal est encore noetherien (on peut trouver la preuve dans le livre de Matsumura ou encore celui d'Atiyah-MacDonald). L'exemple que tout le monde connait est le complete d'un anneau de polynomes qui est l'anneau des series formelles.

Par contre le produit tensoriel $\widehat{A} \otimes_A \widehat{A}$ peut ne pas etre noetherien. Je vais essayer de trouver un contre-exemple si personne ici n'en connait.
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Que de réponses !

Pour répondre à Le barbu rasé, et je suppose par là même, à d'autres. J'avais un doute sur la définition de $A = \lim A_n = \lim \bigcup \Z[X_1, \cdots, X_n]$ (je me rend compte que c'est l'écriture la moins ambigue), parce que j'avais déjà rencontré un problème similaire, pour lequel la réponse n'était pas simple du tout.
Je veux bien sûr parler de mon post (datant du mois d'octobre ou avant) sur le théorème de Steinitz : on construisait un ensemble inductif et l'on voulait considérer l'élément maximal. Oui, mais il se trouve qu'on ne pouvait pas du tout affirmer (simplement) que c'était un ensemble. On m'a répondu (je ne sais plus si la réponse me fut donnée par mon prof ou le forum) que c'était fait dans Bourbaki à l'aide d'une astuce énorme (un truc $\tau$ je crois qui est vrai si $\tau(A)$ existe, etc...)

Bref, comme à chaque fois qu'on parle de limite inductive (je crois que c'est le terme correct) : on prend la limite d'une réunion d'ensemble qui n'est a priori contenu dans aucun ensemble, et on se pose donc la question de savoir si c'en est un ou non.

D'où ma question, visiblement sans intérêt ici.

Je vous remercie beaucoup pour les exemples et contre-exemples que vous me donnez. Et Borde, tu as tout a fait raison de citer ton livre quand c'est a propos, comme c'est le cas. Tu l'as écris pour qu'il soit lu non ? Il contient des réponses à des questions ? Eh bien alors tu as tout a fait raison de dire que ton livre contient un élement de réponse. On cite bien d'autres ouvrages ! Que tu en sois l'auteur n'y change rien : si c'est a propos, fais le et ne t'en excuse pas.


Je pense avoir compris vous générez autant d'exemples. Vous prenez un anneau $A$ et considérez un module de dimension infini dessus. Puis vous prenez une suite de sous-modules de dimension finies, croissantes ou décroissantes, et vous quotientez. Cela vous donne les suites d'idéaux cherchées. Est-ce cela ?

Merci encore

Cordialement
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Oups j'ai manifestement lu la réponse de BéBé en diagonale puisque tu réponds à ma dernière question avant que je ne la pose. Excuse moi.

Pour montrer que l'idéal engendré par tous les $X_i$ n'est pas de type fini, le raisonnement suivant est-il correct ? Par l'absurde, on considère une famille $(a_i)_{i \in I}$ génératrice finie. Chacun des $a_i$ est un polynôme à $n_i$ indéterminées, $n_i$ étant par définition fini. Soit $(k_{j,i})_{ 1 \leq j \leq n_i, i \in I}$ la liste des indéterminées nécessaires à la génération de la famille $(a_i)_{i \in I}$. Comme $n_i$ est fini pour tout $i$, et $I$ aussi, cette liste est finie. Donc il existe $\alpha$ tel que $X_{\alpha}$ ne soit pas dans la liste : la "droite" $X_{\alpha}$ n'est pas engendrée par la partie génératrice. Contradiction.

Pour en conclure que $\bigcup_{n \in \N^*} \Z[X_1, \cdots, X_n ] $ n'est pas noetherien, suffit-il de dire que l'idéal engendré par tous les $X_i$ est évidemment "le plus grand" (notion facile à définir au sens de l'inclusion), et que n'étant pas de type fini, il ne peut être engendré par aucun des idéaux cités ci-dessus ?

Merci

Cordialement
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Par contre je ne vois pas comment vous faites pour voir un anneau artinien comme un "point". Certes, ce n'est qu'une image, mais quand même j'aimerais bien voir.



Merci
PB
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
On associe à tout anneau commutatif A l'ensemble Spec(A) de ses idéaux premier.
Et Spec(A) est muni d'une topologie naturelle (et même d'un peu plus ...).
Quand on dit que "A est un point", on veut dire "Spec(A) est un point", c.a.d. A possède un unique idéal premier (qui est donc maximal). C'est le cas par exemple si A est artinien et local.
bs
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Si j'ai bien compté, il existe donc trois possibilités:

Anneau ni noethérien, ni artinien : exemple dans le borde p114 ( étant donné la notoriété grandissante du livre et de son auteur, toulemonde comprendra ), ou exemples de BéBé.

Anneau noethérien, non artinien : exemple $\Z$

Anneau noethérien et artinien : exemple ? [si possible, pas un corps]

C'est pour enrichir la collection.

Merci.
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Merci PB. "Et même d'un peu plus" ? Je suis curieux ;)
Re: Anneau non noetherien/ factoriel
il y a douze années
avatar
Puisqu'apparemment il y a des kadors dans le coin ;), et pour revenir à l'interrogation initale, j'aimerais l'enrichir de quelques questions que je me pose depuis un certain temps.

Naos s'est demandé s'il existait un anneau non noethérien, et il en a trouvé un : Z[X1,...,Xn,...] avec un nombre dénombrable d'intéterminées. Remarquons que cet anneau est factoriel, car un polynôme de Z[X1,...,Xn,...] s'écrit avec un nombre fini de variables. Plus généralement, on a le résultat suivant :
Si A est factoriel, A[X1,...,Xn,...] est factoriel non noethérien.

Une première question c'est : y a-t-il d'autres exemples d'anneaux factoriels non noethériens (une famille non dénombrable d'indéterminées étant considérée comme le même exemple) ? Je suis assez convaincu que oui, dans la mesure où l'on pourrait "enrichir" un anneau A[X1,...,Xn,...] en préservant son caractère factoriel et son caractère non noethérien. Par exemple, on peut quotienter cet anneau par un idéal convenable (disons, pour être très naïf, (X1-X2)), ou encore rajouter une indéterminée, mais ces deux procédés ne conviennent pas car on retombe sur un anneau du même type.

Seconde question, en supposant que la première reçoive une réponse positive. A défaut d'être les seuls anneaux factoriels non noethériens, les A[X1,...,Xn,...] ne seraient-ils pas les "plus petits" anneaux factoriels non noethériens, au sens suivant : soit B un anneau factoriel non nethérien, existe-il nécessairement un anneau A factoriel tel que A[X1,...,Xn,...] soit un sous-anneau de B ?
Pour infirmer cette conjecture, on pourrait peut-être s'inspirer de l'exemple intéressant de ryo (fonctions entières), qui définitivement ne contient pas de A[X1,...,Xn,...], sauf qu'évidemment il n'est pas factoriel (pour établir le caractère non noethérien, ryo a exhibé un élément non décomposable en irréductibles). Cela dit il a de "bonnes" propriétés (il est de Bezout), ce qui pourrait laisser naïvement penser qu'en cherchant du côté de fonctions holomorphes on pourrait trouver un anneau factoriel non noethérien.
Je suis néanmoins très convaincu de la validité de ma conjecture...

Enfin dernière question : en essayant de répondre à la première, j'ai pensé aux anneaux A[[X1,...,Xn]]. Malheureusement, ces derniers ne se trouvent pas être factoriels en général. Plus précisément, je suis tombé sur le théorème suivant :
1) Si A est principal, A[[X]] est factoriel.
2) En général, si A est factoriel, A[[X]] n'est pas factoriel.
Je m'interroge sur cet énoncé :
a) J'aimerais vraiment beaucoup voir une preuve de 1). Quelqu'un a-t-il un référence à me proposer, ou mieux, connaît-il les idées de la preuve (ce serait le pied) ?
b) J'aimerais des précisions sur le 2) :
i) un contre-exemple
ii) est-ce que si A est factoriel non principal, on a nécessairement A[[X]] non factoriel ? Si oui pourquoi ? Si non, où est-ce que ça coince dans le cas général ? (Faudrait-il justement que A soit factoriel non noethérien ???)

Tout élément de réponse, même très partiel, me fera très plaisir...
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Et pour en rajouter:

Un espace topologique est dit noetherien quand toute suite croissante d'ouverts est stationnaire

Un espace topologique est dit artinien quand toute suite décroissante d'ouverts est stationnaire

Question: sous quelles conditions supplémentaires (les moins fortes possibles) peut-on dire que artinien implique noetherien (pour un espace topologique)?
Fadalbala
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Cher barbu,

juste une remarque concernant le 1): il enbloge au moins le cas ou $A = K [[X]]$, et donc on se devrait de montrer que $K [[X,Y]]$ est factoriel. Or je pense que cela utilise deja a ce stade le theoreme de preparation de Weierstrass.
Mais peut-etre que je m'egare sur une fausse piste, et que le 1) que tu demandes est different dans le principe de sa demonstration du theoreme qui dit que $K [[X_1 , ..., X_n ]]$ est factoriel.
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Merci Fadalbala pour ces premières informations.

Quel est l'énoncé du theoreme de preparation de Weierstrass ?
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Fadalbala, tu dois connaître la réponse à la question suivante :

Existe-t-il un anneau $A$ et un idéal $I\subseteq A$ qui n'est pas engendré par un nombre fini de générateur, mais tel que tous les idéaux $J\subsetneq I$ ont un nombre fini de générateurs ?
Fadalbala
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
J'ecrirai ce theoreme demain, c'est-a-dire aujourd'hui j'espere. Il decoule de l'existence d'un analogue pour les series formelles de la division euclidienne pour les polynomes, sauf que cette fois au lieu d'utiliser le degre on utilise la valuation.
Si vous pietinez d'impatience vous le trouverez dans presque tout livre d'algebre commutative, et meme dans des livres qui traitent de la geometrie des courbes planes il me semble.

Pour la question de Christophe malheureusement comme ca je n'ai pas d'idee.
bs
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Bonjour,

pour un contre-exemple du 2 de le br:

$Q[\sqrt{2},\sqrt[3]{5},\sqrt[7]{7}] [[X ]]$ n'est pas factoriel bien que l'anneau de base le soit.
[sais plus faire en latex]

Ref: énoncé :Giorgi , Thèmes pour l'agreg p26,
preuve : dans Anneaux factoriels de P.Samuel.

Et mon exemple d'anneau artinien et noethérien qui ne soit pas un corps ?

merci
PB
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
naos : l'espace topologique Spec(A) est ensuite muni d'une structure de schéma, voir par exemple Geometry of schemes, Harris et Eisenbud. En gros, on associe à tout ouvert U de Spec(A) un anneau O(U) (l'anneau des "fonctions" sur U). Par exemple, si U=Spec(A), on a simplement O(U)=A.

Ainsi Spec(A) est un objet géométrique (exactement comme une variété différentielle), et on utilise un langage plus imagé : Spec(k) est un point (k étant un corps), Spec(k[X]) est une droite, Spec(k[X,Y]) est un plan, Spec(k[X,Y]/(Y-X^2)) est une courbe, etc.
PB
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
bs : l'anneau de base est un corps non ? et k[[X]] est factoriel si k est un corps...
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
bs > J'allais faire la même remarque que PB.

Fadalbala > Merci beaucoup. Je vais sagement attendre tes précisions. Ce que je peux déjà dire, c'est que je sais montrer sans problème que K[[X]] est factoriel (je sais montrer que ses idéaux sont les (X^n)), mais dès qu'on passe à K[[X,Y]], je suis perdu. Je ne sais pas voir cet anneaux autrement que comme K[[X]][[Y]], et je ne sais pas analyser les A[[X]] quand je ne peux pas inverser dans A. Je suis également incapable d'expliciter simplement les irréductibles de Z[[X]].

Une fois prouvé que K[[X1,...,Xn]] est factoriel, on a sans problème que K[[X1,...,Xn,...]] est factoriel également, n'est-ce pas ?
bs
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Bonjour,

PB et le barbu rasé: oui, je comprends.

J'écris donc le paragraphe au complet:

"Si A est intègre, A[[X]] est intègre. Cependant, A peut être factoriel, sans que A[[X]] le soit; $Q[\sqrt{2},\sqrt[3]{5},\sqrt[7]{7}] [[X ]]$ n'est pas factoriel bien que l'anneau de base le soit ( voir "Anneaux factoriels" de P. Samuel)".

Merci Bruno pour le Latex.
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Quand PB et moi (en tout cas, moi) parlions de l'"anneau de base", nous faisions allusion à $Q[\sqrt{2},\sqrt[3]{5},\sqrt[7]{7}]$.

Ce n'est pas un corps ???
Il me semble pourtant que oui...

[La case LaTeX. :) AD]
pg
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Juste pour signaler que l'article de Samuel où il donne un exemple de A factoriel avec A[[X]] qui ne l'est pas (proposition 14 page 169) est disponible sur numdam :

[www.numdam.org]
bs
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Trop tard!!!
Voir pages 15 à 20 , quelque chose qui ressemble à Giorgi...


\lien{[archive.numdam.org]}
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Super !!

Merci beaucoup les amis, je me penche dessus tout de suite !
PB
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
J'ai lu vite fait l'énoncé de Samuel dans le fichier indiqué :
{\it Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $p\ge 3$. L'anneau $A=k[x,y,z]$ où $z^p=x^{p+1}+y^{2p+1}$ est factoriel mais l'anneau de séries formelles $A[[T]]$ ne l'est pas.}
C'est de cet énoncé que tu t'es inspiré {\bf bs} ?
naos_pas loggé
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Bonjour,

merci PB pour la précision. Ca a l'air drolement interessant ! Juste pour être sûr : tu parles du lien avec les variétés différentielles. Ce lien, c'est bien le théorème de Milnor ?

As-tu une référence abordable ou un poly qui traite de cette "géométrie" ? Et quelles sont ses applications ?

Pour le reste des réponses, je lis avec attention mais elles me dépassent un peu.. donc je m'abstient.

Merci

Cordialement
bs
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Bonjour,

PB: c'est W.Giorgi qui s'est inspiré de ce texte pour son livre, je n'ai fait que le retranscrire; mais manifestement en écrivant $\Q$ à la place de $k$, le résultat n'est plus vrai.

De plus, entre $z^p=x^{p+1}+y^{2p+1}$, et $\sqrt{2},\sqrt[3]{5},\sqrt[7]{7}$, quelle est la relation ?

Modification: Si erreur dans le livre il y a, peut-être faut-il prévenir l'auteur W.Giorgi ?

Amicalement.
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Merci encore pour la doc (que je continue d'éplucher, mais j'avance lentement).

Cela répond largement à la seconde partie de ma 3e question : j'ai un bel exemple de A factoriel tel que A[[X]] ne l'est pas, et il n'y a pas de critère "simple" séparant les anneaux factoriels dont les séries entières sont un anneau factoriel des autres anneaux factoriels.

J'ai déjà du boulot avec ça. Néanmois, pour la première partie de ma 3e question (si A principal, A[[X]] est factoriel), ou la version de Fadalbala (si K corps, K[[X1,...,Xn]] factoriel (?)) quelqu'un a-t-il des éléments de réponses ?
PB
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
naos : la définition de Spec(A) pour tout anneau commutatif A, c'est pas un truc obscur dans un article, c'est le début de la géométrie algébrique moderne (rien que ça !). Si tu fais de l'algèbre, tu n'y échapperas pas :D. J'ai déjà donné une référence. Tu peux aussi lire l'introduction des EGA.

Le lien entre Spec(A) et les variétés différentielle auquel je pensais est purement formel : les deux sont par définition (enfin c'est une définition possible pour les variétés différentielles) des espaces topologiques munis d'un faisceau d'anneaux...
Fadalbala
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Je reviens pour donner des precisions sur le theoreme de preparation de Weierstrass. Pour un peu plus de simplicite je me bornerai a le formuler pour l'anneau $A = k [[X,Y]]$, bien que ca ne soit pas un enonce plus complique dans le cas d'un nombre arbitraire fini de variables.
Avant le theoreme de preparation il y a le theoreme de division, qui fait penser a la division euclidienne pour les polynomes.

Les series formelles (a une variable) n'ont pas de degre mais une {\bf{valuation}}: si $f \in k [[Y]]$ alors $f = Y^p \cdot g (Y)$ avec $g(0) \neq 0$ pour un unique entier $p = val (f)$.
Si maintenant $F \in k [[X,Y]]$ on dit que $F$ est {\bf{$p-$reguliere}} en $Y$ si $vap ( F(0,Y) ) = p$. $F$ est dit {\bf{$p-$distingue}} en $Y$ si on peut ecrire
$$ F = Y^p + a_1 (X) Y^{p-1} + ... + a_p (X) $$
ou les $a_i (X) \in X \cdot k [[X]]$, i.e $F$ est un polynome en $Y$ et $a_i (0)=0$.

Alors:

1) le theoreme de {\bf{division}} dit que si $F$ est $p-$reguliere en $Y$ et si $G \in k [[X,Y]]$ il existe un couple unique $(Q,R)$ de series formelles dans $k [[X,Y]]$, avec $R \in k [[X]] [Y]$ et $deg_{Y} (R) < p$, tel que
$$ G = F \cdot Q + R $$
De plus si $F$ est $p-$distingue et $G$ est un polynome en $Y$ alors $Q$ et $R$ sont aussi des polynomes en $Y$.

2) Le theoreme de {\bf{preparation}} dit que si $F$ est $p-$reguliere en $Y$ alors il existe un unique polynome $p-$distingue en $Y$ $G$ tel que
$$ G = F \cdot Q $$
avec $Q \in k [[X,Y]]$ une serie formelle {\bf{inversible}}, i.e $Q(0) \neq 0$.

Ceci etant dit, comment montre t'on a present que $k [[X,Y]]$ est factoriel? on prend un element irreductible $F$ de cet anneau, il s'agit de montrer que $(F)$est un ideal premier.

a) On suppose immediatement que $F$ est $p-$regulier en $Y$ moyennant changement de variable: si $Y$ ne marche pas, on le remplace par une combinaison lineaire de $X$ et $Y$.

b) Le theoreme de preparation permet de supposer que $F$ est un polynome $p-$distingue en $Y$, i.e $F = Y^p + a_1 (X) Y^{p-1} + ... + a_p (X) $ avec $a_i (0) = 0$. En effet $Q$ dans 2) est inversible, cela ne change donc rien a la question de primalite.

Maintenant $F$ est sous cette condition aussi irreductible en tant que polynome en $Y$ a coeffs dans $k [[X]]$, car si $F = F_1 \cdot F_2 $ dans $ k [[X]] [Y]$ alors un des deux $F_i$ est inversible comme serie formelle et par exemple $F_2 = (\frac{1}{F_1}) \cdot F$ dans $k [[X,Y]]$; mais comme rappele dans 1) la division dans $k[[X]][Y]$ coincide avec celle dans $k [[X,Y]]$. Donc $F_1$ est inversible comme polynome.

c) Supposons donc que $F$ divise $G \cdot H$ dans $k [[ X, Y ]]$; on ecrit la division du 1) de $G$ et $H$ par $F$:
$$ G = F \cdot Q_1 + R_1 \hspace{1cm} , \hspace{1cm} H = F \cdot Q_2 + R_2 $$
et donc $R_1 \cdot R_2$ est divisible par $F$ dans $k[[X, Y]]$, comme ce sont des polynomes en $Y$ cette divisibilite est aussi vraie dans $k[[X]][Y]$. Comme $F$ est irreductible et $k[[X]][Y]$ factoriel, alors $F$ divise $G$ ou $H$. \\\

En conclusion le theoreme de Weierstrass permet de ramener efficacement des problemes sur des series formelles a des problemes polynomiaux en une des variables.
Le barbu se demandait quels etaient les irreductibles de $k [[X, Y]]$; la preuve ci-dessus y repond: ce sont a inversible pres ceux qui peuvent s'ecrire moyenant changement de variable affine comme des polynomes en une des variables, irreductibles dans un anneau du type $k [[X]][Y]$. Ce n'est pas tres explicite comme reponse certes mais je ne crois pas qu'on puisse dire mieux.
Fadalbala
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Sinon la preuve vient de Malliavin, algebre commutative, chez Masson, pages 158-160, mais on peut la trouver dans d'autres livres, peut-etre le vieux Zariski-Samuel. Il doit y a voir aussi des livres plus recents que je ne connais pas.

Je ne vois cependant pas comment on va l'adapter au cas de $A [[X]]$ ou $A$ est principal. Il faudrait un analogue du theoreme de Weierstrass, donc du theoreme de division. Mais la preuve de celui-ci s'appuie sur ds arguments topologiques: les anneaux de series formelles sont complets pour la distance "ultrametrique" venant deP la valuation.
Si le resultat dont parle le barbu est vrai a mon avis cela ne suivra pas la meme preuve que celle que j'ai mise.
Fadalbala
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
Une derniere remarque a la sauvette, ou plutot une question: peut on montrer facilement l'autre cas particulier de factorialite de $A [[Y]]$, pour $A = k [X]$?
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a douze années
avatar
Merci Fadalbala, c'est super.

Je vais essayer de comprendre et d'intégrer toutes ces informations.
noounouis
Re: Anneau non noetherien/ artinien
il y a six années
bonjour ;
Soit A=F[x]2/f1(x)f2(x),
avec f1 et f2 sont irréductibles, est ce que ce quotient est artinien et noethérien ??
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