Irréductible, premier

Alors, pour qu'on soit d'accord:

$p\in A$ est irreductible si $p$ n'est non nul, $p$ n'est pas une unite, et si pour tout $a,b\in A$, on a $$p=ab\Rightarrow a\in A^*\mbox{ ou } b\in A^*.$$

$p$ est premier si $P$ est non nul, $p$ n'est pas une unite et
pour tout $a,b\in A$, on a $$p\vert ab\Rightarrow p\vert a\mbox{ ou } p\vert b.$$

Si $A$ est integre, un element premier est irreductible , mais pas le contraire en general. Maintenant pour repondre a la question, on peut montrer le theoreme suivant.

{\bf Thm: }Soit $A$ un anneau commutatif integre. Alors $A$ est factoriel si et seulement si:

$1)$ Tout element $a$ non nul qui n'est pas une unite s'ecrit comme produit d'elements irreductibles.

$2)$ Tout element irreductible est premier.


C'est bien un theoreme, et pas une definition de la factorialite, car dans la definition d'un anneau factoriel, on demande l'"unicite" d'une telle decomposition.

Quelqu’un a un exemple d’élément irréductible mais pas premier, dans un anneau intègre ? Je pense à un anneau de polynômes, mais sans plus d’idée.

Merci pour vos commentaires éclairés, à présent on peut se demander si on peut trouver un exemple d'élément premier non irréductible ? La preuve premier => irréductible utilise clairement l'intégrité. Toutefois mon étude de $\Z/6\Z$ et $\Z/4$ m'a emmené à la même conclusion dans ces anneaux il existe un unique élément irréductible et il est premier.

Me conseillez-vous de continuer à chercher parmi les anneaux $\Z/n\Z$ avec $n$ non premier. Peut être qu'on peut caractériser les éléments irréductibles de ces anneaux et les éléments premiers.

Je réalise que trouver un élément premier qui n'est pas irréductible n'est pas facile du tout, mon prof d'algèbre (un grand mathématicien) m'a avoué ne pas avoir d'idée sur la question. Il a essayé $\Z/p^{r}\Z$ puis m'a dit non ça ne marchera pas.

Ma question est : Existe-t-il des éléments premier qui ne sont pas irréductible, nécessairement pour trouver un contre exemple vous devez chercher dans un anneau non intègre.

Votre raisonnement premier implique irréductible utilise certainement le fait que l'anneau $A$ est intègre.

Quand je demande c'est quoi la définition de $a$ est irréductible il y a un petit piège : la définition usuelle (def 1)dans les anneaux intègres ne marche pas dans les anneaux non intègres.

Et ce n'est pas difficile de trouver dans $\Z/(6)$ un élément qui ne satisfait pas la (def 1) et qui est premier.

Non ça c'est la définition d'irréductible pour les anneaux intègres. Raisonne en terme d'idéaux : ce qui nous intéresse c'est de factoriser $(a)$, soit $a\in A$ tel que $(a) \ne (1)$, alors $a$ est irréductible ssi $(bc) = (a) \implies ...$

De la même façon $(a)$ est premier ssi $A/(a)$ est un anneau intègre ssi $(a)\ne (1)$ et $bc\in (a)\implies b \in(a)$ ou $c\in (a)$.

Et $\Z/(6)$ n'a que 6 éléments et seulement 2 qui sont premiers...