anneaux noethériens
dans Algèbre
Le moins qu'on puisse dire, est que le sujet que je mets là n'est pas nouveau!
Voici un lien qui va s'enrichir vers des preuves retravaillées en profondeur, au niveau du soin, des théorèmes que je considère comme impressionnants se trouvant entre les pages 120 et 130 du malliavin "algèbre commutative"
{\it les conditions suivantes sont équivalentes, pour tout anneau $A$:
(1) $A$ est un anneau noethérien dont tous les idéaux premiers sont maximaux
(2) $A$ est un anneau artinien}
Toutes mes excuses à celles et ceux qui ont déjà et il y a fort longtemps si bien digéré ces faits que c'est rendu dans leur rectum, mais je pense qu'il est utile de rappeler à intervalle régulier les "banalités" célèbres comme celles ci-dessus
A mon sens un anneau est une structure suffisamment générale pour qu'on goûte le côté impressionnant de ces faits, ad vitam eternam (oula, je suis pas sûr de l'orthographe)
{\bf Je dois une question à celles et ceux, spécialistes de la question, qui ont perdu du tps à cliquer sur ce lien: peut-on prouver ces faits sans l'axiome du choix} (donc sans utiliser l'existence d'idéaux maximaux contenant n'importe quel idéal donné au départ){\bf ? }
********
Un anneau n'est rien d'autre qu'un ensemble muni de 2 opérations + et . nommée multiplication et addition. Elles sont associatives et commutative, $0$ élément neutre pour l'addtion qui existe, et tout élément a un opposé pour $+$. La multiplication est distributive / l'addition. La multiplication a un élément neutre $1$. Idéal veut dire ensemble stable par combinaison linéaire. Une combinaison linéaire des éléments $a1, a_2,..a_n$ est une somme de multiples des $a_i$. On dit que $a$ est multiple de $b$ quand il existe $x$ avec $b.x=a$. On omet souvent d'écrire le "point" pour la multiplication.
Il y a bcp d'anneaux. Prenez 3 opérations $+,.,-$ quelconques et "quotientez" par la relation d'équivalence engendrée par $(a+b)R(b+a)$; $a+(b+c)R(a+b)+c$; idem avec $.$ et $(a-b)+bRa$; $a+0Ra$; $a.(b+c)R(a.b)+(a.c)$
Pour les gens cultivés, vous pouvez prendre $\Z [(X_i)_{i\in I}]/T$ anneau des polynomes sur un nombre quelconque d'indéterminées quotienté par $T$ un idéal de $\Z [(X_i)_{i\in I}]$, $\Z$ étant l'anneau des entiers relatifs.
Voici un lien qui va s'enrichir vers des preuves retravaillées en profondeur, au niveau du soin, des théorèmes que je considère comme impressionnants se trouvant entre les pages 120 et 130 du malliavin "algèbre commutative"
{\it les conditions suivantes sont équivalentes, pour tout anneau $A$:
(1) $A$ est un anneau noethérien dont tous les idéaux premiers sont maximaux
(2) $A$ est un anneau artinien}
Toutes mes excuses à celles et ceux qui ont déjà et il y a fort longtemps si bien digéré ces faits que c'est rendu dans leur rectum, mais je pense qu'il est utile de rappeler à intervalle régulier les "banalités" célèbres comme celles ci-dessus
A mon sens un anneau est une structure suffisamment générale pour qu'on goûte le côté impressionnant de ces faits, ad vitam eternam (oula, je suis pas sûr de l'orthographe)
{\bf Je dois une question à celles et ceux, spécialistes de la question, qui ont perdu du tps à cliquer sur ce lien: peut-on prouver ces faits sans l'axiome du choix} (donc sans utiliser l'existence d'idéaux maximaux contenant n'importe quel idéal donné au départ){\bf ? }
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Un anneau n'est rien d'autre qu'un ensemble muni de 2 opérations + et . nommée multiplication et addition. Elles sont associatives et commutative, $0$ élément neutre pour l'addtion qui existe, et tout élément a un opposé pour $+$. La multiplication est distributive / l'addition. La multiplication a un élément neutre $1$. Idéal veut dire ensemble stable par combinaison linéaire. Une combinaison linéaire des éléments $a1, a_2,..a_n$ est une somme de multiples des $a_i$. On dit que $a$ est multiple de $b$ quand il existe $x$ avec $b.x=a$. On omet souvent d'écrire le "point" pour la multiplication.
Il y a bcp d'anneaux. Prenez 3 opérations $+,.,-$ quelconques et "quotientez" par la relation d'équivalence engendrée par $(a+b)R(b+a)$; $a+(b+c)R(a+b)+c$; idem avec $.$ et $(a-b)+bRa$; $a+0Ra$; $a.(b+c)R(a.b)+(a.c)$
Pour les gens cultivés, vous pouvez prendre $\Z [(X_i)_{i\in I}]/T$ anneau des polynomes sur un nombre quelconque d'indéterminées quotienté par $T$ un idéal de $\Z [(X_i)_{i\in I}]$, $\Z$ étant l'anneau des entiers relatifs.
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Réponses
http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/anneauxneotheriens.php
Soit $A$ un anneau artinien. Soit $P$ un idéal premier. Soit $a\notin P$. Les idéaux $P+(a^n)$ forment une suite décroissante d’idéaux qui finit par se stabiliser. Pour un certain $n>0$, $a^n\in P+(a.a^n)$ et donc, il existe $y$ tel que $(1-ay).a^n\in P$. Comme $a^n\notin P$, $1-ay\in P$. Donc $1\in P+(a)^n$. Les idéaux premiers d’un anneau artinien sont donc forcément maximaux
Il existe un ensemble fini $F$ d’idéaux premiers (donc maximaux) tel que le produit des idéaux $\in F$ vaut $(0)$. Tout idéal maximal est alors l’un des idéaux qui sont dans $F$. Numérotons $M_1,. . .,M_n$ les éléments de $F$.
Soit $J$ un idéal maximal tel que $A/J$ ne soit pas artinien. On peut supposer que $J=(0)$, et, quitte à renuméroter et à enlever certanis $M_i$, on peut supposer que $M_2...M_n\neq (0)$
Si $n=1$, ça veut dire que $A$ est un corps. $A$ est alors artinien car son seul idéal est $(0)$. Supposons que $n>1$. Soit $L$ un ensemble d’idéaux (totalement ordonné par l’inclusion) sans élément minimal pour l’inclusion. Comme $A/(M_1. . .M_{n-1})$ et comme $A/M_n$ sont artiniens, il existe un idéal $J\in L$ tel que pour tout $K\in L$ : $K+T\supseteq J$, en notant $T$ l’idéal $ M_1. . .M_{n-1}$ et aussi $J\subseteq K+M_n$.
Soit $a$ un élément de $J$ et $K\in L$. Ecrivons $a=k+$somme de produits de la forme $x_1..x_{n-1}$, somme qu’on notera $s$ avec chaque $x_i\in M_i$ et écrivons aussi $a=t+m$ avec $m\in M_n$. Alors $t-k=s-m$ s étant un élément de $T$.
Par hypothèse, pour tout $i : 1<i<n$ il existe $u_i$ dans $M_i$ et $y_i\in M_n$ de manière que $u_i+y_i=1$. En développant le produit, on obtient l’existence de $x,y$ avec $x+y=1$ avec $x\in T$ et $y\in M_n$.
$a=a(x+y)=(k+s)(x+y)=kx+ky+sx+sy=k_2+sx=k_2+[(s-m)+m]x=k_3+mx=k_3\in K$ avec $k_2,k_3\in K$ bien choisis, c’est à dire $k_2=kx+ty+sy$ et $k_3=k_2+(s-m)x$.
Remarque : j’ai utilisé le fait que $sy=0$ et que $mx=0$ car ils sont dans $M_1. . .M_n$
Conclusion : $J$ est minimal dans $L$ ce qui entraine une contradiction
Il ne reste qu’à prouver une seule chose : si un anneau est artinien alors il est forcément noethérien. C’est parti :
Soit $A$ un anneau artinien (mais qu’on ne suppose pas dès le départ noethérien).
Il existe une intersection $T$ d’un ensemble $F$ fini d’idéaux maximaux qui est minimale parmi toutes. Tout idéal maximal est du coup dans $F$. Soit $a$ un élément de $T$. Soit $(a^p)$ un idéal minimal parmi tous les idéaux $(a^n),n\in \N$. Il existe $x$ avec $(1-ax)a^p=0$. $(1-ax)$ ne peut appartenir à aucun idéal maximal puisque $ax$ appartient à tous les idéaux maximaux. $(1-ax)$ est donc inversible. En multipliant $0$ par un tel inverse on obtient que $1\times a^p=0$.
Conclusion : tous les éléments de $T$ sont nilpotents.
Parmi les idéaux $T^n, n\in \N$, il y en a un qui est minimal. Pour ce $R :=T^n$, on peut affirmer que $R^2=R$. Si on suppose que $R\neq (0)$ alors l’ensemble non vide des idéaux $S$ tels que $SR\neq (0)$ admet un élément minimal, qui est forcément de la forme $(b)$, puisqu’il contient un tel $(b)$ tel que $(b)R\neq (0)$. Soit $x\in R$ tel que $bx\neq 0$. Comme $R^2=R$, il existe $u,v$ dans $R$ avec $buv\neq 0$. Donc $(bu)R\neq (0)$ et donc $(bu)=(b)$ ce qui implique qu’il existe $z$ avec $zub=b$. En donc pour tout entier $n>0$, $(z^nu^n)b=b$. Comme $u\in R$ : pour un entier $n$ assez grand, $u^n=0$. Donc $b=0$ ce qui est une contradiction.
Il existe donc un entier $n$ tel que tout produit de $n$ éléments de $T$ est nul.
Avec ce qu’on a démontré sur $T$ ci –dessus, on peut affirmer qu’il existe un ensemble fini $\{M_1,..M_m\}$ d’idéaux maximaux (pas forcément tous distincts), dont le produit est l’idéal nul $(0)$. On suppose qu’on a choisi notre contre-exemple éventuel de manière que $m$ soit le plus petit possible. Forcément $m>1$ car les corps sont noethériens. Les anneaux quotient $A/M_1$ ainsi que $A/(M_2..M_m)$ sont donc tous 2 noethériens et artiniens.
Soit $I$ un idéal. Soit $a_1,..a_k$ tels que tout élément de $I$ est de la forme $x_1a_1+..x_ka_k+q$ avec $q\in M_1$. Soit aussi $b_1,..,b_l$ des éléments de $I$ tels que tout élément de $I$ soit de la forme $x_1b_1+..+x_lb_l+r$ avec $r\in M_2.M_3..M_m$. Soit $u+v=1$ avec $u\in M_1$ et $v\in M_2.M_3. . .M_m$. Soit $e\in I$
$e=x_1a_1+..+x_ka_k+q=y_1b_1+..+y_lb_l+r$. En recalculant $0=e-e$ avec l’expression précédente, on établit que $q-r\in $l’idéal engendré par les $a_i$ et les $b_i$.
En multipliant $e$ par $(u+v)$, on obtient $e=uy_1b_1+..uy_lb_l+0+ vy_1b_1+..vy_lb_l+v[(r-q)+q]= uy_1b_1+..uy_lb_l+0+ vy_1b_1+..vy_lb_l+v(r-q)$, car $vq=0$. Mais $v(r-q)$ est une combinaison linéaire des $a_i$ et des $b_i$. Conclusion : l’idéal $I$ est engendré par un ensemble fini de générateurs.
A un moment, je dis: {\it il existe un produit fini d'idaux maximaux inclus dans $(0)$}.
C'est justifiable par la preuve suivante: dans un anneau noethérien tout idéal $I$ contient un produit fini d'idéaux premiers qui, chacun pris séparément contient $I$. En effet, un idéal $J$ maximal à être contre-exemple ne serait pas premier. $J+(a)$ et $J+(b)$ avec $ab\in J$ et $a\notin J$ et $b\notin J$, contiendrait respectivement $P_1..P_n$ et $Q_1..Q_k$ avec $J\subseteq P_i$ et $J\subseteq Q_i$. Le produit $P_1..P_nQ_1..Q_k$ mène à une contradiction.
Par ailleurs, si on suppose que tous idéaux premiers sont maximaux, mon enchainement est justifié...
Si un idéal premier contient un produit fini d'idéaux alors il contient un des facteurs:
En effet, si $UV\subseteq P$ qui est premier et si $a\in U-P$ et $b\in V-P$ alors on a la contradiction que $ab\in UV-P$
***
Un produit d'idéaux $UV$ est inclus dans son intersection $U\cap V$.
{\it Dans tout anneau noethérien, les suites descendantes d'idéaux premiers stationnent.}
Je ferai un post soigné sur une preuve de ça! Bref que des énoncés de 3 lignes avec des preuves super chiadées!
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,296167,296195#msg-296195
Preuve (est-elle sans erreur?):
Soit $A$ un anneau noethérien tel qu'il existe un idéal $I$ et un élément $b$ non nul qui appartient à toutes les puissances de $I$. On dira alors que l'anneau $A$ est bleu
Soit $A$ un anneau bleu et $J$ un idéal maximal tel que $A/J$ soit bleu. On cherche à obtenir une contradiction. Pour ça, on peut supposer que $J=(0)$. Ainsi pour tout idéal non nul $I$, l'anneau $A/I$ n'est pas bleu.
Soient un idéal $I$ et un élément $b$ non nul qui appartient à toutes les puissances de $I$. Du fait que $A/K$ est non bleu pour n'importe quel idéal $K$ non nul, on a donc que $b\in K$ pour tout idéal non nul $K$. Il y a donc 2 possibilités: (1) ou bien $b\in$ toutes les puissances de $T$, $T$ étant l'intersection des idéaux maximaux, et il y a dans $T$ un élément $a$ dont toutes les puissances sont $\neq 0$, (2) ou bien tout élément de $T$ a une de ses puissances qui est nulle, et auquel cas, comme l'anneau est noethérien, l'un des $T^n$ vaut $(0)$
Si (1) soit alors un élément $0\neq a\in T$ tel que $a^n\neq 0$ pour tout $n$ et un entier $p>0$ tel que l'ensemble des éléments qui donnent un multiple de $b$ quand on les multiplie par $a^p$ est égal à l'ensemble des éléments qui donnent un multiple de $b$ quand on les multiplie par $a^{p+1}$. Comme $b$ peut s'écrire $a^{p+1}c$ ($b$ est dans tous les idéaux non nuls) et qu'il existe un $u$ tel que $a^pc=ub$, on peut conclure que $(1-ua)b=0$. Comme $a$ est dans tous les idéaux maximaux, $(1-ua)$ est inversible et donc $b=0$.
Si (2), alors un produit fini d'idéaux maximaux vaut $(0)$. Ecrivons $M_1..M_p=(0)$. En supposant que $M_2..M_p\neq (0)$. $b$ est donc aussi bien dans $M_1$ que dans $M_2..M_p$. Soient, comme je l'ai déjà signalé $u\in M_1$ et $v\in M_2..M_p$ tels que $(u+v)=1$. Alors $b=ub+vb=0$.
{\bf \it Voilà: et ce serait bien que quand quelqu'un annonce un "fait" comme au lien précédent, il le prouve... C'est un forum de maths, et les preuves, ya que ça de vrai!}
En espérant ne pas avoir fait d'erreurs, mais merci de me les signaler s'il y en a (j'ai vraiment peiné, et ne suis pas sûr sûr du résultat!)
S'il n'y en a pas, présentement, le schéma, très général, de cette preuve est le suivant:
1) Un adjectif concernant les anneaux "être vert" est tel que, dans un anneau noethérien $A$, un idéal maximal $J$ tel que $A/J$ soit vert autorise à se placer dans $A/J$ au lieu de $A$ sans perte de généralité.
2) Du coup, pour tout $I$ non nul, $A/I$ n'est pas vert.
3) Si la propriété "être vert" dépend de l'existence d'un élément $b$ non nul, alors ce $b$ appartiendra, modulo des hypothèses très générales, à tous les idéaux non nuls.
4) Or l'intersection des idéaux non nuls étant réduite à $(0)$... On prouve ainsi qu'il n'existe aucun anneau vert!
Bref... Je n'ai pas encore pris mon apéro, et je risque le delirium tremens
Soit $A$ un anneau noethérien, $I,J$ des idéaux: s'il existe un élément $b\notin J$ qui appartient à toutes les puissances de $I$. On dira alors que le triplet $(A,I,J)$ est bleu
Soit $(A,L,J)$ un triplet bleu avec $J$ un idéal maximal tel qu'il existe un idéal $I$ tel que $(A,I,J)$ soit bleu. On cherche à obtenir une contradiction. Ainsi pour tout idéal $I$ qui contient strictement $J$, le triplet $(A,L,I)$ n'est pas bleu.
Soit un élément $b\notin J$ qui appartient à toutes les puissances de $L$. Du fait que $(A,L,K)$ est non bleu pour n'importe quel idéal $K\supsetneq J$, on a donc que $b\in K$. Il y a donc 2 possibilités: (1) ou bien $b\in$ toutes les puissances de $T$, $T$ étant l'intersection des idéaux maximaux, et il y a dans $T$ un élément $a$ dont toutes les puissances $\notin J$, (2) ou bien tout élément de $T$ a une de ses puissances qui $\in J$, et auquel cas, comme l'anneau est noethérien, l'un des $T^n\subseteq J$
Si (1) soit alors un élément $a\in T$ dont aucune puissance n'est dans $J$ et un entier $p>0$ tel que l'ensemble des éléments qui donnent un multiple de $b+$ un élément de $J$ quand on les multiplie par $a^p$ est égal à l'ensemble des éléments qui donnent un multiple de $b+$ un élément de $J$ quand on les multiplie par $a^{p+1}$. Comme $b$ peut s'écrire $a^{p+1}c+z$ avec $z\in J$ et qu'il existe un $u$ tel que $a^pc=ub+y$, avec $y,z$ dans $J$ on peut conclure que $(1-ua)b\in J$. Comme $a$ est dans tous les idéaux maximaux, $(1-ua)$ est inversible et donc $b\in J$.
Si (2), alors un produit fini d'idéaux maximaux $\subseteq J$. Ecrivons $M_1..M_p\subseteq J$. En supposant que $M_2..M_p$ n'est pas inclus dans $J$ et $M_1$ non plus. $b$ est donc aussi bien dans $M_1+J$ que dans $M_2..M_p+J$. Soient $u\in M_1$ et $v\in M_2..M_p$ tels que $(u+v)=1+z$ avec $z\in J$. Alors $b+zb=ub+vb\in J$ et donc $b\in J$.
Je vais essayer de traiter l'idéal $L$ (dont chaque puissance contient $b$) comme si c'était "a". Il existe en tout cas un des générateurs de $I$ disons $a$ tel que toute puissance $a^n$ est en dehors de $J$.
Du coup, $b$ est dans chaque $(a^n)+J$...
A suivre lol
Les preuves ci-dessus donnent "trivialement" (j'aime pas cette prétention, mais bon, c'est devenue une telle "tradition" de s'exprimer ainsi) le fait que dans tout anneau intègre et noethérien l'intersection des puissances d'un idéal quelconque ne contenant pas $1$ est $(0)$.
J'ai aussi lu hier soir, juste avant d'éteindre la lumière lol, dans le malliavin "algèbre commutative", un théorème, {\bf vers la fin} du livre qui commence comme suit:
{\it soit $A$ un anneau noethérien et soit $I$ un idéal tel que l'intersection des $I^n$ vaut $(0)$...}
Une telle hypothèse semble attester que personne n'a jamais prouvé (avant l'écriture du livre) que dans un anneau noethérien l'intersection des $I^n$ vaut {\bf forcément } $(0)$
En relisant \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,296167,296195#msg-296195} je m'aperçois que "olus" n'a jamais rien dit de tel, car j'avais oublié le mot {\it .. et intègre..}. Je lui dois des excuses.
Je conclus donc ces excuses en lançant une annonce: {\bf est-ce que quelqu'un a déjà rencontré un anneau noethérien contenant un idéal $I$ tel que $\cap _{n\in \N} I^n\neq (0)$???? } que je vais recopier dans un fil indépendant...
http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/anneauxneotheriens.php
{\it
{\it Soit $A$ un anneau {\bf quelconque} qui contient un élément non nul appartenant à tous les idéaux non nuls. Alors $A$ est un corps! }
Preuve:
Soit $a\neq 0$ un élément de $A$ qui appartient à tous les idéaux non nuls. Si $a^2\neq 0$ alors $(a^2)$ l'idéal des multiples de $a^2$ contient $a$ et donc il existe $b$ tel que $(1-ba)a=0$ car $a=a^2b$
Si $1-ab\neq 0$ alors il existe $k$ tel que $a=k(1-ab)=k-kab$. Mais alors $a^2=(k-kab)a=ka-ka^2b=ka-ka=0$. Donc, on est ramené au cas où $a^2=0$ (avec un superbe raisonnement par l'absurde signé mon surdoué préféré lol)
Multiplions $(1-ab)$ par $(1+ab)$ pour obtenir $1^2-a^2b^2=1$. Et donc, c'est bien vrai que $1-ab$ est inversible. Donc $a=0$
Ainsi, sous l'hypothèse que $a\neq 0$, forcément $1-ab=0$ et $a$ est inversible!
La conclusion de ce raisonnement est que les seuls éléments qui pourraient appartenir à tous les idéaux non nuls sont les éléments inversibles. Or ces derniers n'appartiennent à aucun idéal autre que $A$.
}
{\bf Conclusion:}
Si un anneau contient un élément non nul qui appartient à tous les idéaux non nuls, alors cet anneau est un corps
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,374168,374168#msg-374168
Elle n'est pas si facile que ça à trouver: mais {\bf je vous garantis} qu'il y en a une!!!
{\bf Il se peut que personne ne l'ait vue car l'énoncé est classique (ce qui en passant est significatif)!}